Tekijoihinjako

Alkuluvut

Tekijöihin jakoa voidaan jatkaa aina alkutekijöihin asti, jolloin luku esitetään alkulukujen tulona. Alkuluku on siitä erikoinen luku, ettei sitä voi enää jakaa tekijöihin ja jokainen kokonaisluku ( $\geq2$) voidaan esittää ainoastaan yhdellä tavalla alkulukujen tulona.

Alkuluku on lukua $1$ suurempi luonnollinen luku, joka on jaollinen ainoastaan luvulla $1$ ja itsellään. Kymmenen ensimmäista alkulukua ovat: $2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19, 22$ ja $23$.
Esimerkki 4: alkulukupuu
a) Jaetaan luku $60$ alkulukutekijöihin sekä kertotaulun avulla, että alkulukupuun helpottaessa muistamista. $$\begin{align*} 60 &= 10\times 6 \\ &= 2\times 5 \times 2\times 3 \\ &= 2^2 \times 3\times5 \end{align*}$$
b) Samalla tavalla menee luku $2000$: $$\begin{align*} 2000 &= 1000\times 2 \\ &= 2\times 500 \times 2 \\ &= 2\times 250 \times 2 \times 2 \\ &= 2\times 125 \times 2 \times 2\times 2 \\ &= 2\times 25\times5 \times 2 \times 2\times 2 \\ &= 2\times 5\times5\times5 \times 2 \times 2\times 2 \\ &= 2^4 \times 5^3 \end{align*}$$
2
Luettele kymmenen ensimmäistä alkulukua.
3
Poimi luvuista $40, 47, 53, 55, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 88, 100, 101$ alkuluvut.
Mikä luku alkutekijöihin jaettuna on
a) $2^ 3\times7$
b) $3^3\times5^2$
c) $3^2 \times 5 \times7$
d) $2\times3\times5\times7$
Jaa alkutekijöihin.
a) $7$
b) $10$
c) $11$
d) $21$
Jaa alkutekijöihin.
a) $12$
b) $18$
c) $20$
d) $24$
Mitä yhteistä on luvuilla $2, 5, 29$ ja $31$?
Jaa alkutekijöihin.
a) $40$
b) $90$
a) Mikä on ainoa parillinen alkuluku?
b) Luettele kaikki lukua $20$ pienemmät alkuluvut.
c) Luettele kaikki alkuluvut lukujen $25$ ja $40$ väliltä.
Jaa luvut alkutekijöihin.
a) $6$
b) $15$
c) $24$
d) $50$
e) $100$
Luettele kaikki alkuluvut lukujen $120$ ja $140$ väliltä.
Mikä on luvun $2178$ suurin
a) alkutekijä
b) pariton tekijä?
Jaa luku $161 700$ alkutekijöihin.
Jaa luku $9 699 690$ alkutekijöihin.
Vuonna 1742 matemaatikko Christian Goldbach väitti, että jokainen lukua $2$ suurempi parillinen luku voidaan esittää kahden alkululuvun summana. Esimerkiksi $4 = 2 + 2$, $8 = 3 + 5$ jne. Esitä seuraavat luvut kahden alkuluvun summana.
a) $16$
b) $46$
c) $80$
d) $100$
Vihje: Tämä on ns. Goldbachin konjektuuri. Lue siitä lisää internetistä.