$ %\newlength\dlf \newcommand\alignedbox[2]{ % #1 = before alignment % #2 = after alignment & %\begingroup %\settowidth\dlf{$\displaystyle #1$} %\addtolength\dlf{\fboxsep+\fboxrule} %\hspace{-\dlf} \hspace{-.4cm} \boxed{#1 #2} %\endgroup } $ $ \DeclareMathSymbol{,}{\mathpunct}{letters}{"3B} \DeclareMathSymbol{.}{\mathord}{letters}{"3B} $

Yhtälön ratkaisemiseen on hyvin helppo sääntö (algoritmi), jota seuraavissa harjoitellaan.

Strategiana on siirtää tuntematon vakio (eli yleensä) $x$ yhtäsuuruusmerkin ($=$) vasemmalle puolelle, ja vakiot (numerot) yhtäsuuruusmerkin oikealle puolen. Niitä saa siirtää puolittain, eli lisäämällä molemmille puolille yhtä paljon tavaraa. Lopuksi yhtälö jaetaan tuntemattoman ($x$) edessä olevalla kertoimella.

Algoritmi on siis alla olevan kaltainen. Ratkaistaan samalla yhtälö.

$$\begin{align*} 4x-4=8+x \end{align*}$$

Esimerkeissä näkyy myös matemaattisen kirjoittamisen malli. Sulkeissa olevia tekstejä ei tarvitse kirjoittaa, mutta muut pitäisi.

Huomaa esimerkeissä näkyvä muuri $||$, jonka jälkeen kerrotaan, mitä yhtälölle tehdään. Sen olemassaolo on hyvin tärkeä.
Esimerkki 1
Ratkaistaan yhtälö $x - 2 = 5$. $$\begin{align*} x-2 &= 5 &&\text{(Luku } -2 \text{ on väärällä puolella)} \\ x-2 &= 5 \hspace{2cm}||+2 &&\text{(Lisätään yhtälöön puolittain } +2)\\ x-2 +2 &= 5+2 \\ x &= 7 \\ \end{align*}$$

Hyvään tapaan kuuluu myös tarkistaa yhtälö. Tehdään se sijoittamalla äsken saatu $x$:n arvo $x=5$ yhtälön vasemmalle puolen ja katsotaan tuleeko siitä oikea puoli: $$x-2 = 7-2 = 5$$ joka on oikea puoli. Täsmää!

Esimerkki 1
Ratkaistaan yhtälö $7x +1= 6x + 4$. Nyt vakioita ($1$) on yhtäsuuruusmerkin vasemmalla puolella ja tuntemattomia ($6x$) on yhtäsuuruusmerkin oikealle puolen. Ne pitää ensin siirtää oikeille puolin. $$\begin{align*} 7x+1 &= 6x+4 \hspace{2cm}||-1&&\text{(Lisätään yhtälöön puolittain } -1) \\ 7x+1-1 &= 6x+4-1 \hspace{2cm}||-1&&\text{(Lasketaan luvut)} \\ 7x &= 6x+3 \hspace{2cm}||-6x&&\text{(Vähennetään )} +6x \\ 7x-6x &= 3\\ x &= 3 \end{align*}$$

Hyvään tapaan kuuluu myös tarkistaa yhtälö. Tehdään se sijoittamalla äsken saatu $x$:n arvo $x=3$ alkuperäiseen yhtälöön ja katsotaan täsmääkö se:

Vasen puoli: $7x+1 = 7\times3+1=21+1=22$

Oikea puoli: $6x+4 = 6\times 3 +4 = 18+4=22$. Täsmää!

Esimerkki 3
Ratkaistaan yhtälö $5x +1=2x - 2$. $$\begin{align*} 5x +1&=2x - 2 \hspace{2cm}|| -1 &&\text{(Siirrä vakiot oikealle)}\\ 5x+1-1 &= 2x -2 -1 \hspace{2cm} || -2x &&\text{(Siirrä tuntemattomat vasemmalle)}\\ 5x-2x &= -3 \\ 3x &= -3 \hspace{2cm}||/3 &&\text{(Jaa tuntemattoman kertoimella)}\\ x &= -\frac33\\ x& =-1 \end{align*}$$

Hyvään tapaan kuuluu myös tarkistaa yhtälö. Tehdään se sijoittamalla äsken saatu $x$:n arvo $x=-1$ alkuperäiseen yhtälöön ja katsotaan täsmääkö se:

Vasen puoli: $5x+1 = 5\times(-1)+1=-5+1=-4$

Oikea puoli: $2x-2 = 2\times(-1)-2 =-2-2=-4$. Täsmää!

39. Mitä yhtälölle tapahtuu, kun sen molemmat puolet kerrotaan luvulla $–1$?
40. Millä $x$:n arvolla binomi $5x –1$ saa arvon
a) $0$
b) $1$
c) $14$?
41. Keksi yhtälö, jonka ratkaisu on $x = 2$.
42. Osoita, että $x = 1$ on yhtälön $5x^3 -4x^2 + 7x-8=0$ ratkaisu.
43. Millä $x$:n arvolla lausekkeet $2x+ 5$ ja $12+ x$ saavat saman arvon? DESMOS
44. Millä $x$:n arvolla lausekkeet
a) A ja D ovat yhtä suuret
b) B ja C ovat yhtä suuret?
c) Mitkä kaksi lauseketta eivät voi olla yhtä suuria millään x:n arvolla?
45. Ratkaise $x$ yhtälöstä.
a) $ax = b$
b) $-bx + 2a= 4a$
c) $a + x = b$
d) $a = 2x + b$
46. Ratkaise $x^2 + 2x = 0$.
47. Ratkaise yhtälö $3x + 4 =5 - 6x$. (yo kevät 2002)
48. Määritä lausekkeen $x^2 - 6x+5$ arvo sillä $x$:n arvolla, joka toteuttaa yhtälön $3x +1= 0$. (yo syksy 1998)
8
”Nueve” on eräs numero espanjaksi. Jos lisäät lukuun ”nueve” luvun $3$, saat summaksi $12$. Mikä luku on ”nueve”?
9
Tutki onko yhtälön $x^2+x=2$ ratkaisu
a) $x =1$
b) $x =0$
c) $x =-2$
d) $x =2$
14
Piirrä vaakamalli yhtälölle $6x + 3= 4x - 5$ ja ratkaise yhtälö sen avulla.
Vaa’at ovat tasapainossa. Ratkaise $x$:llä merkityn kappaleen massa, kun pienen kuution paino on 1 kg.
16
Keksi sanallinen tehtävä, johon liittyy yhtälö $x + 5 = 55$.
17
Kaikki vaa’at ovat tasapainossa. Päättele montako kuutiota on $x$ vastaa?
The scales are balanced. Work out the weight of the object $x$ in each case. Each small weight is 1 kg.
18
Millä $x$:n arvolla lauseke $2x + 1$ saa arvon nolla?
21
Russel has two bags of sweets, each of which contains the same number of sweets. He eats eight sweets. Then he has $30$ sweets left. How many sweets were in each bag to start with?
Kuutio, pallo ja kartio ovat painoja. Jos kuutio painaa 6 kg, paljonko painavat pallo ja kartio?
22
Kuutio, pallo ja kartio ovat painoja. Jos pallo painaa 4 kg, paljonko painavat kuutio ja kartio?
23
Mitkä seuraavista luvuista ovat yhtälön $\frac{2x+3}{4x+5}=1$ juuria: $4/3$, $-4/3$, $1$, $-1$, $2/3$, $-2/3$? (yo kevät 1987)
24
Miten luku a on valittava, jotta yhtälön $ax^2 + x - 4 = 0 $ toisena juurena on $-4$? (yo syksy 1991)
Loppu!

Hyvä

Pääsit loppuun. Kysy Markulta välitesti ja/tai ohjeita seuraavaan kappaleeseen.

Etusivulle

cc3.0 Marika Toivola & Tiina Härkönen: Avoin matematiikka Lisäykset, muutokset ja virheet Markun käsialaa.