$ %\newlength\dlf \newcommand\alignedbox[2]{ % #1 = before alignment % #2 = after alignment & %\begingroup %\settowidth\dlf{$\displaystyle #1$} %\addtolength\dlf{\fboxsep+\fboxrule} %\hspace{-\dlf} \hspace{-.4cm} \boxed{#1 #2} %\endgroup } $ $ \DeclareMathSymbol{,}{\mathpunct}{letters}{"3B} \DeclareMathSymbol{.}{\mathord}{letters}{"3B} $

Kaikilla yhtälöillä ei ole ratkaisua. Lisäksi on olemassa yhtälöitä, jotka pitävät paikkaansa millä $x$:n arvolla tahansa, tällöin yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua.

Esimerkki 1.
Ratkaistaan yhtälö $- x + 2x +5 = -x -10+15$. $$\begin{align*} - x + 2x +5 &= x -10+15 \hspace{2cm}|| -x &&\text{(Muuttujatermit)}\\ -x + 2x -x +5 &= -10 + 15 \hspace{2cm} || -5 &&\text{(Vakiotermit)}\\ -x+2x-x&= -10 +15 -5 \\ \alignedbox{0}{=0}\\ \end{align*}$$ Koska tulokseksi tuli tosi, eli $0=0$, niin yhtälön ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa reaaliluku eli yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua.
Esimerkki 2.
Ratkaistaan yhtälö $6x - 4 = 7x - x$. $$\begin{align*} 6x - 4 &= 7x - x \hspace{2cm} ||-7x+x &&\text{(Muuttujatermit)}\\ 6x -7x +x -4 &= 0 \hspace{2cm} || +4 &&\text{(Vakiotermit)}\\ 6x-7x+x&=4\\ 0&=4 \hspace{2cm} ||:4 &&\text{(Jaetaan vakioksi kiva luku})\\ \alignedbox {0}{=1} \end{align*}$$ Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska tunnetustu $0\neq1$.
Esimerkki 3.
Ratkaistaan epäyhtälö $–2x + 4 \leq x + 3 – (3x – 1)$. $$\begin{align*} –2x + 4 &\leq x + 3 – (3x – 1)\\ –2x + 4 &\leq x + 3 – 3x + 1\\ –2x - x + 3x &\leq 3 + 1 – 4\\ \alignedbox 0{ \leq 0} \end{align*}$$ Tämä on aina totta, jolloin epäyhtälö on tosi. Epäyhtälön ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa reaaliluku eli epäyhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua.
Esimerkki 4.
Ratkaistaan epäyhtälö $2(x + 2) \leq 2x – 1$. $$\begin{align*} 2(x + 2) &\leq 2x – 1\\ 2x + 4 &\leq 2x – 1\\ 2x – 2x &\leq – 1 – 4\\ \alignedbox 0 {\leq -5} \end{align*}$$ Tämä ei ole ikinä totta, jolloin kyseessä on epätosi epäyhtälö. Epäyhtälöllä ei siis ole ratkaisua.
132.
Onko väite tosi vai epätosi?
a) $3 \leq -8$
b) $8 \neq 7$
c) $5 \geq 3$
d) $7 < 2$
133.
Onko väite tosi vai epätosi?
a) $1+3 \leq 5-1$
b) $6+1\geq10-7$
c) $6+ 7 \neq15-3$
d) $-3- 4 > -9$
134.
Ratkaise yhtälöt.
a) $3 = -y$
b) $0 = 2 + y$
c) $10y =10y$
d) $2y = 2y - 5$
135.
Ratkaise.
a) $5x + 2 =17$
b) $5(x + 2) =17$
c) $3x + 4 = 2x + 5$
d) $3(x + 4) = 2(x + 5)$
e) $4(x +1) = 2(x -1) + 2x$
136.
Ratkaise yhtälöt.
a) $x = x$
b) $x +3 = x$
c) $\frac2x = \frac8{4x}$
137.
Solve the equation $2(x -1) + x = 3x - 2$.
138.
Ratkaise epäyhtälöt.
a) $x > x -1$
b) $2x -6 > 0$
c) $x > x$
d) $x + 2 \geq 4$
139.
Solve the inequalities.
a) $x > x - 2$
b) $4x -8 \geq 0$
c) $2x > x$
d) $- x \geq 6$
140.
Keksi yhtälö, jolla
a) ei ole ratkaisua
b) on äärettömästi ratkaisuja.
141.
Ratkaise epäyhtälöt.
a) $6x \neq 0$
b) $x \neq x +1$
c) $x +3 \neq 5- 2x$
d) $3x \neq 9$
142.
Keksi epäyhtälö, jolla
a) ei ole ratkaisua
b) on äärettömästi ratkaisuja.
143.
Mikä $a$:n on oltava, jotta yhtälöllä $ax-6- x = 3x$ ei olisi ratkaisua?
144.
Mikä $b$:n on oltava, jotta yhtälöllä $bx+3x = 5x$ olisi äärettömän monta ratkaisua?
145.
Ratkaise yhtälöt.
a) $5x(x 6) -4= 4x\times x+ +x+\times x 20x +6 -10 +10x$
b) $\frac{-2x}{-16} = \frac x8$
c) $4x( x-1 )+5x-x+3x\times x + x\times x -8 = 0$
146.
Mikä a:n on oltava, jotta epäyhtälöllä $ax+ 2-6 \neq -4x - 4$ ei olisi ratkaisua?
Loppu!

Hyvä

Pääsit loppuun. Kysy Markulta välitesti ja/tai ohjeita seuraavaan kappaleeseen.

Etusivulle

cc3.0 Marika Toivola & Tiina Härkönen: Avoin matematiikka Lisäykset, muutokset ja virheet Markun käsialaa.