$ %\newlength\dlf \newcommand\alignedbox[2]{ % #1 = before alignment % #2 = after alignment & %\begingroup %\settowidth\dlf{$\displaystyle #1$} %\addtolength\dlf{\fboxsep+\fboxrule} %\hspace{-\dlf} \hspace{-.4cm} \boxed{#1 #2} %\endgroup } $ $ \DeclareMathSymbol{,}{\mathpunct}{letters}{"3B} \DeclareMathSymbol{.}{\mathord}{letters}{"3B} $

Epäyhtälö on jännä ja yleensä vaikea asia. Muista, että jos $x>1$, niin $-x < -1$. Tässä kannattaa käyttää Desmosta apuna.

Esimerkki 1.
a) Lisätään ja vähennetään epäyhtälöstä $3 < 4$ puolittain $2$. $$\begin{align*} 3 &< 4 \hspace{2cm}|| +2\\ 5 &< 6 \end{align*}$$ ja $$\begin{align*} 3 &< 4 \hspace{2cm}|| -2\\ 1 &< 2 \end{align*}$$ Molemmat ovat edelleen totta.
b) Kerrotaan epäyhtälö $3 < 4$ puolittain kahdella.
$$\begin{align*} 3 &< 4 \hspace{2cm}|| \times2\\ 6 &< 8 \end{align*}$$ Edelleen totta.
Esimerkki 2
Kerrotaan epäyhtälö $3 < 4$ puolittain luvulla $–2$.
$$\begin{align*} 3 &< 4 \hspace{2cm}|| \times(-2)\\ -6 &> -8 \end{align*}$$ Edelleen totta ainoastaan silloin, jos erisuuruusmerkin suunta vaihdetaan!
Esimerkki 3.
Ratkaistaan epäyhtälö $2x > 12$. $$\begin{align*} 2x &> 12 \hspace{2cm} || :2 \\ x &> 6 \end{align*}$$ Kokeillaan tarkistaa jollakin luvulla. Pitäisi tarkistaa jokaisella luvulla, mutta katsotaan toteuttaako, jokin lukua $6$ suurempi luku alkuperäisen yhtälön. $$\begin{align*} 2 \times 7 &> 12 \\ 14 &> 12 \end{align*}$$ tosi on. Katso myös kuvaaja.
Esimerkki 4.
Ratkaistaan epäyhtälö $x + 2 \leq 3(x - 2)$. $$\begin{align*} x + 2 &\leq 3(x - 2) &&\text{(Poista sulkeet)}\\ x+2 &\leq 3x -6 \hspace{2cm} || -3x &&\text{(Muuttujatermit)} \\ x-3x+2 &\leq -6 \hspace{2cm} || -2 && \text{(Vakiotermit)}\\ x-3x &\leq -6-2 \\ -2x &\leq -8 \hspace{2cm} ||:(-2) \\ \alignedbox x{\geq 4} \end{align*}$$ Tsekataan yhdellä $x$ arvolla, toteuttaako: Valitaan $x$:n arvoksi esimerkiksi 5. $$\begin{align*} 5 + 2 &\leq 3( 5 – 2 ) \\ 7 &\leq 9 \end{align*}$$ Tosi on. Tarkista myös kuvaaja.
111
Esitä lukusuoralla.
a) $x > 3$
b) $x \leq 2$
c) $-5 < x \leq 4$
d) $0 \leq x < 3$
112
Ovatko väittämät totta?
a) $3 < 5$
b) $4 > -4$
c) $–2 \leq -2$
d) $–4 > -1$
113
Kerro epäyhtälöiden molemmat puolet luvulla –1.
a) $4 > 3$
b) $2 > -2$
c) $–4 < -3$
d) $5 \geq 2$
e) $–2 \leq 0$
f) $–1 \geq -2$
114
Ovatko väittämät totta?
a) $-8 \leq -10$
b) $-7 > -11$
c) $4 \neq 7 - 2$
d) $10-1\geq 6+3$
e) $-12- 2 \geq -10$
115
Ratkaise epäyhtälöt.
a) $-3x < 9$
b) $2x > 6$
c) $-3x \leq -15$
d) $3- 2x \geq -5$
116
Solve the following inequalities.
a) $ 2x <12$
b) $- x > 8-3$
c) $x - 4 > -3$
d) $x -3x \leq 0$
117
Mille reaaliluvuille $x$ pätee
a) $2x < 3x$
b) $-9x \geq -3x + 6$?
118
Millä muuttujan $x$:n arvoilla lauseke saa positiivisia arvoja? a) $6x$
b) $\frac12 x$
c) $x - 2$
d) $x + 6$
e) $- 2x + 4$
119
Write down the whole numbers in the range $-5 < x < 5$ which satisfy the inequality $2(x - 5) > -4$.
120
Ratkaise $sx \leq -101$, kun $s$ on positiivinen kokonaisluku.
121
Millä muuttujan $x$ arvoilla lausekkeen $2x$ arvo on suurempi kuin lausekkeen $23x + 7$ arvo?
122
Millä $x$:n arvolla lausekkeen arvot ovat negatiivisia?
a) $-8x$
b) $10x$
c) $4x +16$
d) $- 2x + 50$
123
Solve the following inequalities.
a) $x + 2(x +1) < 5 + x$ b) $- 4(2x -1) \geq10$
124
Ratkaise epäyhtälöt.
a) $3-5u > 2(3+ 2u)$
b) $t - 5 < 2(t - 7)$
c) $2(v - 3) \leq 7v - 5$
125
Millä $x$:n arvoilla lausekkeen arvot ovat positiivisia?
a) $2x -1$
b) $x2$
c) $x3$
d) $| x |$
126
Ratkaise $kx \geq 6$, kun $k$ on negatiivinen kokonaisluku.
127
Ratkaise epäyhtälöt.
a) $\pi x +1< 3$
b) $-5x +\pi \geq -\pi$
128
Ratkaise $tx < 3$, kun $t$ on reaaliluku.
129
Ratkaise epäyhtälö $-5x -4(x +3) > 6x -2(x -1)$ .
130
Ratkaise epäyhtälö $3(x + 4)<12(15+ 2x)$ . (yo syksy 1984)
131
Ratkaise epäyhtälö $\frac23(x+\frac14)<\frac15(x-\frac14)$ (yo kevät 1995)
Loppu!

Hyvä

Pääsit loppuun. Kysy Markulta välitesti ja/tai ohjeita seuraavaan kappaleeseen.

Etusivulle

cc3.0 Marika Toivola & Tiina Härkönen: Avoin matematiikka Lisäykset, muutokset ja virheet Markun käsialaa.