$ %\newlength\dlf \newcommand\alignedbox[2]{ % #1 = before alignment % #2 = after alignment & %\begingroup %\settowidth\dlf{$\displaystyle #1$} %\addtolength\dlf{\fboxsep+\fboxrule} %\hspace{-\dlf} \hspace{-.4cm} \boxed{#1 #2} %\endgroup } $ $ \DeclareMathSymbol{,}{\mathpunct}{letters}{"3B} \DeclareMathSymbol{.}{\mathord}{letters}{"3B} $

Verranto

Suureita, joiden suhde on vakio, sanotaan suoraan verrannollisiksi.

Jos suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset, toteuttavat niiden lukuparit $(a,b)$ ja $(c,d)$ verrannon $\frac ba = \frac bd$ eli myös $\frac bd = \frac ac$.

Jos toinen suure kasvaa kaksinkertaiseksi, kasvaa toinenkin kasinkertaiseksi. Jos toinen suure puolestaan pienenee neljäsosaan, myös toinen pienenee neljäsosaan.

Kun suoraan verrannollisten suureiden riippuvuutta kuvataan koordinaatistossa, pisteet osuvat samalle origon kautta kulkevalle suoralle. Suoraan verrannolliset suureet riippuvat lineaarisesti toisistaan.

Esimerkki 1
Tuntipalkalla työtä tekevä henkilö tietää ansaitsevansa sitä enemmän, mitä useamman tunnin hän työskentelee. Palkka ja tehtyjen tuntien määrä kasvavat siis samassa suhteessa. Kyseessä on suoraan verrannollisuus.
Esimerkki 2
Suoraan verrannollisuus tulee esille myös esimerkiksi ostoksilla. Mitä enemmän jotakin tavaraa ostetaan, sitä enemmän ostokset maksavat.
Esimerkki 3

Laura teki töitä $15$ tuntia ja sai palkkaa $90$ €. Jenna työskenteli puolestaan $18$ tuntia palkalla $108$ €. Ovatko työaika ja palkka suoraan verrannollisia?

Ratkaisu: Työaika ja palkka ovat suoraan verrannollisia, jos tuntipalkka pysyy muuttumattomana. Lasketaan ne molemmissa tapauksissa:

$\frac{90€}{15\text{ h}} = 6 $€/h

$\frac{108€}{18\text{ h}} = 6 $€/h

Molemmat tuntipalkat ovat samat, joten kyseessä on suoraan verrannolliset suureet.

Esimerkki 4
Kolme kiloa mangoja maksaa $6,90$ €. Paljonko maksaa viisi kiloa samoja mangoja?

Ratkaisu

Tapa 1

Kyseessä on verranto, jossa kilohinta on suureiden välinen vakio. Lasketaan ensin yhden mangokilon hinta:

Yksi kilo mangoja maksaa $\frac{6,90€}{3\text{ kg}}= 3,30 \frac{€}{\text{ kg}}$.

Siis viisi ($5$) kiloa maksaa $5\text{ kg}\times 3,30 \frac{€}{\text{ kg}} = \boxed{11,50€}$.

Tapa 2

Kyseessä on verranto, joten kirjoitetaan siitä verrantoyhtälö. Tuntematon arvo ($x$) kannattaa kirjoittaa ensin yläkulmaan, ja sen alle viisi kiloa:

$$\frac{x}{5\text{ kg}} = \frac{6,90€}{3\text{ kg}}$$

Eli $x$:n suhde viiteen kiloon on sama kuin 6,90€:n suhde kolmeen kiloon.

Ratkaistaan moinen:

$$\begin{align*} \frac{x}{5\text{ kg}} &= \frac{6,90€}{3\text{ kg}} \hspace{2cm}||\times 5\text{ kg} &&\text{(Kerrotaan tuntemattoman nimittäjällä)}\\ x &= \frac{6,90€}{3\text{ kg}} \times 5\text{ kg} &&\text{(Muutetaan kertolaskun järjestystä)}\\ x &= \frac{5\text{ kg}}{3\text{ kg}} \times 6,90€ \\ \alignedbox x{=11,50€} \end{align*} $$

Huomaa, kuinka massojen suhde ilmestyi näkyviin! Mieti sitä.

1

Täydennä taulukko niin, että suureet $a$ ja $b$ ovat suoraan verrannollisia.

a)

a b
1 3
2
3
4
5

b)

a b
1
2 4
5
6
10

c)

a b
2
4 5
10
12
100
2
Mitkä seuraavista ovat suoraan verrannollisia suureita? Perustele.
a) ihmisen pituus ja massa
b) neliön sivun pituus ja pinta-ala
c) pituus metreinä ja tuumina.
3

Suure $x$ on suoraan verrannollinen suureen $y$ kanssa. Täytä taulukko

a)

x y
2
5 3.6
7
13
100

b)

x y
3 8,7
6
11
98
105
4
Paljonko painaa $12$ m kangasta, jos $2,5$ m samaa kangasta painaa $210$ g?
5

Täydennä taulukko, kun puhelun kesto ja hinta ovat suoraan verrannollisia.

a)

puhelun kesto [min] puhelun hinta [snt]
1 3,70
2
20
60
80

Onko puhelun hinta ja kesto oikeasti suoraan verrannollisia suureita? Entä Sinun puhelinliittymässäsi?

6
Neliön muotoisen ikkunalasin sivun pituus on $2,0$ m ja se painaa $15,80$ kg. Samanlaisesta lasista tehty ovi särkyi ja sirpaleet painoivat $8,69$ kg. Mikä oli särkyneen lasioven pinta-ala?
7
Kuvitellaan, että ikä ja paino olisivat suoraan verrannollisia suureita. Lasse painaa $9$-vuotiaana $35$ kg. Kuinka paljon hän painaisi $63$-vuotiaana? Mitä voit päätellä suoraan verrannollisuuden olettamuksesta?
8
Verneri matkustaa Englantiin ja vaihtaa $500$ €:lla Englannin puntia. Hänellä on käytössään tällöin £$327$. Verneri ostaa kellon, jonka hinta on £$57$. Paljonko kello maksaa euroina?
9
Tynnyrissä, jonka korkeus on $210$ cm on $1700$ litraa vettä. Paljonko tynnyrissä on vettä, jos veden korkeus on $60$ cm?
10
Miesten parran kasvunopeus on noin $4\times10^{-9}$ m/s. Paljonko parta kasvaa tällöin
c) vuorokaudessa?
d) viikossa?
11
$540$ km pituinen lentomatka maksaa $120$ €, $2600$ km pituinen lentomatka $250$ € ja $3400$ km pituinen lentomatka $500$ €. Onko lentomatkan pituus suoraan verrannollinen sen hintaan?
12
Maasta katsottuna Aurinko ja Kuu näyttävät suunnilleen saman kokoisilta. Kuun säde on $1740$ km ja sen etäisyys Maasta on $1.27$ valosekuntia. Aurinko puolestaan on noin $8.2$ valominuutin päässä maasta. Laske näillä tiedoilla Auringon säde?
Vihje: Muuta valominuutit vaikka valosekunneiksi.
13
Ajetaan mopolla vakionopeudella 40 km/h. a) Täydennä taulukko
aika [min] matka [km]
0
1
10
15
30
b) Piirrä koordinaatistoon suora, joka kuvaa ajan ja matkan välistä riippuvuutta.
Litralla maalia saadaan maalatuksi $5,0$ m$^2$ seinää. Kuinka paljon maalia tarvitaan maalaamiseen, jos seinän pinta-ala on
a) $15,0$ m$^2$
b) $63,0$ m$^2$
c) $113,0$ m$^2$
Kolmeen annokseen lääkettä tarvitaan $10$ grammaa jodia. Paljonko jodia tarvitaan viiteen lääkeannokseen?
Petra on 1-vuotias ja Maria kolme kertaa niin vanha kuin Petra. Jäljennä oheinen taulukko vihkoosi ja täydennä puuttuvat luvut. Ovatko iät suoraan verrannollisia?
Petran ikä Marian ikä
1
2
4
20
27
Auto kulkee $160$ km:n matkan nopeudella $50$ km/h. Mikä on kuljettu matka, jos aika on sama, mutta
a) nopeus vähenee puoleen?
b) nopeus kasvaa kaksinkertaiseksi?
Piirrä suora, jonka avulla voit muuttaa nopeudet m/s nopeuksiksi km/h. Määritä kuvaajan avulla montako
a) km/h on $3$ m/s? b) m/s on $24$ km/h?
Osoita, että yhtälö $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$ voidaan muuttaa muotoon $\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2}$
Veneen pohjassa olevasta reiästä tulee aikayksikössä sisään vesimäärä, joka on suoraan verrannollinen reiän halkaisijan neljänteen potenssiin. Yhdellä pumpulla pystytään pitämään tyhjänä vene, jonka pohjassa on $1,2$ cm:n läpimittainen reikä. Kuinka monta samanlaista pumppua tarvitaan pitämään tyhjänä vene, jonka pohjassa on $1,9$ cm:n läpimittainen reikä? (yo kevät 1998)
''
Loppu!

Hyvä

Pääsit loppuun. Kysy Markulta välitesti ja/tai ohjeita seuraavaan kappaleeseen.

Etusivulle

  • Verranto
  • Kaksoispisteellä merkitty verranto
  • Suoraan verrannollisuus (7. lk ja kertaus 8.lk) (tämän teit nyt. Saat testin tästä tai useammasta pätkästä.)
  • Kääntäen verrannollisuus (7. lk ja kertaus 8.lk)
  • cc3.0 Marika Toivola & Tiina Härkönen: Avoin matematiikka Lisäykset, muutokset ja virheet Markun käsialaa.