Suureet ovat kääntäen verrannollisia, kun toisen muuttuessa toinen
muuttuu samassa suhteessa, mutta päinvastaisesti
Jos suureet $x$ ja $y$ ovat kääntäen verrannolliset, toteuttavat niiden lukuparit $(a,b)$ ja $(c,d)$ yhtälön $ab=cd$ eli
$$\frac ac = \frac db $$
Kun kääntäen verrannollisten suureiden riippuvuutta
kuvataan koordinaatistossa, pisteet sijaitsevat
käyrällä, jota kutsutaan hyperbeliksi.
Esimerkki
Jos neljä miestä tekee työn 6 tunnissa. Paljonko aikaa kuluu kolmelta mieheltä saman työn
tekemiseen?
Ratkaisu.
Tapa 1 on mielestäni haastava, eli
$$\begin{align*}
\frac{x}{4} &= \frac{6\text{ h}}{3} \hspace{2cm}|| \times4\\
x &= \frac{6\text{ h}}{3}\times 4 \\
\alignedbox x{=8}
\end{align*}$$
Tapa 2 miettiä asiaa on vakion kannalta. Työmäärä on vakio, joten neljältä mieheltä kuudessa tunnissa tulee sama työmäärä kuin kolmelta mieheltä $x$:ssä tunnissa, eli yhtälönä
$$\begin{align*}
4\times6\text{ h} &= 3\times x \hspace{2cm}||/(3)\\
\frac{4\times6\text{ h}}{3} &= x \\
x &= \frac{24}3 \text{ h}\\
\alignedbox x{=8 \text{ h}}
\end{align*}$$
Aaaarrgghh, eihän se näin mene. Keksi ainakin kymmenen eri syytä, miksi kysymys on huono.
Esimerkki 2
Lentokoneen nopeus oli menomatkalla $600$ km/h, jolloin matka kesti $2,5$ tuntia. Paluumatkalla
vastatuulesta johtuen nopeus oli $500$ km/h. Kauanko paluumatka kesti?
Ratkaisu
Tapa 1 kirjoittamalla suoraan verranto
$$\begin{align*}
\frac{x}{2.5 \text{ h}} &= \frac{600\text{ km/h}}{500\text{ km/h}} \hspace{2cm}|| \times2.5\text{ h}\\
x &= \frac{600\text{ km/h} \times2.5 \text{ h}}{500\text{ km/h}}\\
\alignedbox x{=8}
\end{align*}$$
Jäljennä taulukot vihkoosi ja täydennä ne niin, että suureet $a$ ja $ b$ ovat kääntäen verrannollisia.
a)
a
b
40
1
20
10
5
1
b)
a
b
1
2
2
3
4
5
c)
a
b
8
16
16
24
32
128
2
Miten ovat verrannollisia
a) matka ja aika, jos nopeus on vakio
b) nopeus ja matka, jos aika on vakio
c) nopeus ja aika, jos matka on vakio?
3
Lottoporukka voitti $500 000$ € lotossa. Jäljennä taulukko vihkoosi ja täydennä se.
Henkilöiden lkm
Voitto henkilöä kohden [€]
2
4
31250
10
25000
4
Miten ovat verrannollisia ympyrän
a) säde ja kehän pituus
b) halkaisija ja kehän pituus?
5
Suureiden $a, b, c$ ja $d$ välillä on voimassa verranto
$\frac ab=\frac cd$. Millainen riippuvuussuhde on
a) $a$:n ja $c$:n välillä
b) $b$:n ja $c$:n välillä
6
Eräs työ valmistuu kahdessatoista päivässä, kun päivisin siihen käytetään $4$ tuntia aikaa.
Kuinka nopeasti työ valmistuisi, jos sitä tehtäisiin $6$ h päivässä?
Vihje: Samalla nopeudella, työtahdilla, teholla, olettaen että siinä ei tarvitse odotella esim. osia, kuivumista jne.
7
Huoneen lattia päällystetään $10$ cm paksuisilla laudoilla, joita tarvitaan $180$ m. Jos lautojen
leveys olisi $15$ cm, montako metriä lautaa tarvittaisiin?
8
Nopeus ja aika ovat kääntäen verrannollisia suureita. Kun nopeus kasvaa $25 \%$, montako
prosenttia matkaan käytetty aika pienenee?
Kylpyhuoneen lattian kaakeloinnissa käytetään $10$ cm $\times$ $10$ cm kokoisia laattoja. Laattoja
tarvitaan $360$ kappaletta. Kuinka paljon laattoja tarvittaisiin, jos niiden koko olisikin $12 cm $\times$
$12$ cm?
Vihje. Mitä Sinun pitää olettaa lattian ja laattojen koosta voidaksesi laskea tehtävän?
Vihje. Mitä jos reunimmaisia laattoja täytyy leikata? Kuinka montaa laattaa pitää leikata? Kuinka paljon niitä sitten tarvitaan?
10
Säiliön tyhjentäminen kestää $4$ h ja $30$ min, kun tyhjennyspumpun teho on $200$ l/min.
Kauanko tyhjentäminen kestää pumpulla, jonka teho on $120$ l/min?
11
Osoita, että yhtälö $x_1 y_1 = x_2 y_2$ voidaan muuttaa muotoon
$\frc{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}$.
Vihje. Älä pelästy merkintää $x_1$ (luetaan "äks-yks")jne. Muista vain, että $x_1$ on eri asia kuin $x_2$.
12
$15$ kilometrin matkan ajamiseen kuluu $20$ minuuttia. Kuinka kauan kuluisi samalla nopeudella
$60$ kilometrin matkan ajamiseen?
13
Kerro sanallisesti miten $y$ riippuu $x$:stä.
a) $y = 4x$
b) $y =\frac13 x$
c) $y = \frac 5x $
d) $y = 7x^2$
e) $y = \frac1{x^2}$
f) $y = \frac13 x^2$
14
Matka saareen kestää vanhalla moottoriveneellä $45$ min. Kuinka kauan siihen menee uudella
moottoriveneellä, jolla voi ajaa $30 \%$ nopeammin kuin vanhalla?
15
Koeajan puolivälissä Juho huomasi tehneensä $40 \%$ tehtävistä. Paljonko hänen oli kiristettävä
tahtia, jotta saisi kaikki tehtävät tehdyiksi?
16
6 kissaa pyydystää 12 hiirtä kahdessa päivässä. Jos kissoja onkin 4, montako päivää niillä
menisi 12 hiiren pyydystämiseen?
Loppu!
Hyvä
Pääsit loppuun. Kysy Markulta välitesti ja/tai ohjeita seuraavaan kappaleeseen.