$ %\newlength\dlf \newcommand\alignedbox[2]{ % #1 = before alignment % #2 = after alignment & %\begingroup %\settowidth\dlf{$\displaystyle #1$} %\addtolength\dlf{\fboxsep+\fboxrule} %\hspace{-\dlf} \hspace{-.4cm} \boxed{#1 #2} %\endgroup } $ $ \DeclareMathSymbol{,}{\mathpunct}{letters}{"3B} \DeclareMathSymbol{.}{\mathord}{letters}{"3B} $

Verranto

Suureet ovat kääntäen verrannollisia, kun toisen muuttuessa toinen muuttuu samassa suhteessa, mutta päinvastaisesti

Jos suureet $x$ ja $y$ ovat kääntäen verrannolliset, toteuttavat niiden lukuparit $(a,b)$ ja $(c,d)$ yhtälön $ab=cd$ eli $$\frac ac = \frac db $$

Kun kääntäen verrannollisten suureiden riippuvuutta kuvataan koordinaatistossa, pisteet sijaitsevat käyrällä, jota kutsutaan hyperbeliksi.

Esimerkki

Jos neljä miestä tekee työn 6 tunnissa. Paljonko aikaa kuluu kolmelta mieheltä saman työn tekemiseen?

Ratkaisu.

Tapa 1 on mielestäni haastava, eli $$\begin{align*} \frac{x}{4} &= \frac{6\text{ h}}{3} \hspace{2cm}|| \times4\\ x &= \frac{6\text{ h}}{3}\times 4 \\ \alignedbox x{=8} \end{align*}$$
Tapa 2 miettiä asiaa on vakion kannalta. Työmäärä on vakio, joten neljältä mieheltä kuudessa tunnissa tulee sama työmäärä kuin kolmelta mieheltä $x$:ssä tunnissa, eli yhtälönä $$\begin{align*} 4\times6\text{ h} &= 3\times x \hspace{2cm}||/(3)\\ \frac{4\times6\text{ h}}{3} &= x \\ x &= \frac{24}3 \text{ h}\\ \alignedbox x{=8 \text{ h}} \end{align*}$$

Aaaarrgghh, eihän se näin mene. Keksi ainakin kymmenen eri syytä, miksi kysymys on huono.

Esimerkki 2
Lentokoneen nopeus oli menomatkalla $600$ km/h, jolloin matka kesti $2,5$ tuntia. Paluumatkalla vastatuulesta johtuen nopeus oli $500$ km/h. Kauanko paluumatka kesti?

Ratkaisu

Tapa 1 kirjoittamalla suoraan verranto $$\begin{align*} \frac{x}{2.5 \text{ h}} &= \frac{600\text{ km/h}}{500\text{ km/h}} \hspace{2cm}|| \times2.5\text{ h}\\ x &= \frac{600\text{ km/h} \times2.5 \text{ h}}{500\text{ km/h}}\\ \alignedbox x{=8} \end{align*}$$
Tapa 2. Lentomatka on vakio: $$\begin{align*} 600\text{ km/h} \times2.5 \text{ h} &= 500\text{ km/h}\times x \text{ h} \hspace{2cm}||/500\text{ km/h}\\ % % \frac{600\text{ km/h} \times2.5 \text{ h}}{500\text{ km/h}} &= x\\ % % \alignedbox x{=3 \text{ h}} \end{align*}$$
1
Jäljennä taulukot vihkoosi ja täydennä ne niin, että suureet $a$ ja $ b$ ovat kääntäen verrannollisia.
a)
a b
40 1
20
10
5
1
b)
a b
1 2
2
3
4
5
c)
a b
8
16 16
24
32
128
2
Miten ovat verrannollisia
a) matka ja aika, jos nopeus on vakio
b) nopeus ja matka, jos aika on vakio
c) nopeus ja aika, jos matka on vakio?
3
Lottoporukka voitti $500 000$ € lotossa. Jäljennä taulukko vihkoosi ja täydennä se.
Henkilöiden lkm Voitto henkilöä kohden [€]
2
4
31250
10
25000
4
Miten ovat verrannollisia ympyrän
a) säde ja kehän pituus
b) halkaisija ja kehän pituus?
5
Suureiden $a, b, c$ ja $d$ välillä on voimassa verranto $\frac ab=\frac cd$. Millainen riippuvuussuhde on
a) $a$:n ja $c$:n välillä
b) $b$:n ja $c$:n välillä
6
Eräs työ valmistuu kahdessatoista päivässä, kun päivisin siihen käytetään $4$ tuntia aikaa. Kuinka nopeasti työ valmistuisi, jos sitä tehtäisiin $6$ h päivässä?
Vihje: Samalla nopeudella, työtahdilla, teholla, olettaen että siinä ei tarvitse odotella esim. osia, kuivumista jne.
7
Huoneen lattia päällystetään $10$ cm paksuisilla laudoilla, joita tarvitaan $180$ m. Jos lautojen leveys olisi $15$ cm, montako metriä lautaa tarvittaisiin?
8
Nopeus ja aika ovat kääntäen verrannollisia suureita. Kun nopeus kasvaa $25 \%$, montako prosenttia matkaan käytetty aika pienenee?
9
Kylpyhuoneen lattian kaakeloinnissa käytetään $10$ cm $\times$ $10$ cm kokoisia laattoja. Laattoja tarvitaan $360$ kappaletta. Kuinka paljon laattoja tarvittaisiin, jos niiden koko olisikin $12 cm $\times$ $12$ cm?
Vihje. Mitä Sinun pitää olettaa lattian ja laattojen koosta voidaksesi laskea tehtävän?
Vihje. Mitä jos reunimmaisia laattoja täytyy leikata? Kuinka montaa laattaa pitää leikata? Kuinka paljon niitä sitten tarvitaan?
10
Säiliön tyhjentäminen kestää $4$ h ja $30$ min, kun tyhjennyspumpun teho on $200$ l/min. Kauanko tyhjentäminen kestää pumpulla, jonka teho on $120$ l/min?
11
Osoita, että yhtälö $x_1 y_1 = x_2 y_2$ voidaan muuttaa muotoon $\frc{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}$.
Vihje. Älä pelästy merkintää $x_1$ (luetaan "äks-yks")jne. Muista vain, että $x_1$ on eri asia kuin $x_2$.
12
$15$ kilometrin matkan ajamiseen kuluu $20$ minuuttia. Kuinka kauan kuluisi samalla nopeudella $60$ kilometrin matkan ajamiseen?
13
Kerro sanallisesti miten $y$ riippuu $x$:stä.
a) $y = 4x$
b) $y =\frac13 x$
c) $y = \frac 5x $
d) $y = 7x^2$
e) $y = \frac1{x^2}$
f) $y = \frac13 x^2$
14
Matka saareen kestää vanhalla moottoriveneellä $45$ min. Kuinka kauan siihen menee uudella moottoriveneellä, jolla voi ajaa $30 \%$ nopeammin kuin vanhalla?
15
Koeajan puolivälissä Juho huomasi tehneensä $40 \%$ tehtävistä. Paljonko hänen oli kiristettävä tahtia, jotta saisi kaikki tehtävät tehdyiksi?
16
6 kissaa pyydystää 12 hiirtä kahdessa päivässä. Jos kissoja onkin 4, montako päivää niillä menisi 12 hiiren pyydystämiseen?
Loppu!

Hyvä

Pääsit loppuun. Kysy Markulta välitesti ja/tai ohjeita seuraavaan kappaleeseen.

Etusivulle

  • Verranto
  • Kaksoispisteellä merkitty verranto
  • Suoraan verrannollisuus (7. lk ja kertaus 8.lk)
  • Kääntäen verrannollisuus (7. lk ja kertaus 8.lk) (tämän teit nyt. Saat testin tästä tai useammasta pätkästä.)
  • cc3.0 Marika Toivola & Tiina Härkönen: Avoin matematiikka Lisäykset, muutokset ja virheet Markun käsialaa.