Murto- eli rationaalukuja on esimerksi $\frac23$, $\frac79$ jne. Yläkerrassa on osoittaja ja alakerrassa nimittäjä. O niinkuin otsa niinkuin osoittaja ja N niinkuin nenä niinkuin nimittäjä.
Huomaa, että allaolevat murtoluvut ovat yhtä suuret
$$ \frac12 = \frac24=\frac36=\frac48$$ ja se voidaan nähdä esimerkiksi kuvasta:Tai paremmin janasovelluksella.
$\frac12$-osiin mahtuu kaksi neljäsosaa, kolme kuudesosa ja neljä kahdeksasosaa. Selkeää, eikö vain?
Laventaminen ja supistaminen ovat tuttuja alakoulusta.
Määritellään ensin kaikki murtoluvut, joiden jakaja (nimittäjä) on $3$.
Otetaan lukusuora, ja merkitään siihen kaksi pistettä. Vasemmanpuoleinen olkoon nimeltään $0$ ja oikeanpuoleinen $1$. Merkitäänn tätä janaa symbolilla $[0,1]$, ja kutsutaan sitä yksikköjanaksi.
Mitataan samanmittaisia pätkiä kuin $[0,1]$ pisteen $1$ oikealle puolelle, ja merkitään näin saatuja pisteitä merkeillä $2$, $3$, $4$, $\dots$.
Tällä tavoin saatu jono tasaetäisyyden pisteistä oikealle päin vastaa kokonaislukuja, ja sen nimi on lukusuora.
Yksikköjana $[0,1]$ on kokonainen, ja vastaavat janat $[1,2]$ eli jana pisteiden $1$ ja $2$ välillä, $[2,3]$ jne ovat myös kokonaisia. Jaetaan jokainen tällainen jana kolmanneksiin. Nyt voidaan laskea kolmanneksien lukumäärä menemällä vasemmalta oikealle aloittaen luvusta $0$. Siis punainen jana vastaa kahta kolmannesta:
Alla oleva vihreä jana koostuu seitsemästä kolmasosasta
Selvästi punainen jana voidaan korvata sen oikean puoleisella päätepisteellä, mitä merkitään symbolilla $\frac23$:
Vastaavasti vihreä jana korvataan sen oikeanpuoleisella päätepisteellä, joka on $\frac73$
Siispä jokainen kokonaisen osa (kolmasosa) onkin piste lukusuoralla. Piste, mikä on $7$:s piste oikealle nollasta $0$ on $\frac73$. Yleisesti voidaan sanoa, että $n$:s piste oikealle on $\frac n3$.
Murtoluvut, joissa nimittäjä on 5 laitetaan vastaavasti lukusuoralle: $\frac85$ on $8$s piste nollasta oikealle viidesosien jonossa. Ja niin edelleen.
Jos $n$ on positiivinen kokonaisluku, niin murtoluku $\frac3n$ on kolmas piste nollasta oikealle $n$:s-osien lukusuoralla, ja jos $m$ on kokonaisluku, niin murtoluku $\frac mn$ on $m$:s piste oikealle $0$:sta laskettuna $n$:s-osien lukusuoralla.
Sekaluku on luku, jossa on kokonaislukuosa (esim $3$) ja murtolukuosa (esim $\frac25$) yhdistettynä peräkkäin ilman plusmerkkiä välissä (esim $3\frac25$). Se tarkoittaa samaa kuin nämä luvut summattuna, $3\frac25 = 3 + \frac25$. Kokonaislukuosa ($3$) voidaan laventaa murtoluvuksi (viidesosiksi), koska $3 = \frac{15}3$, joten sekaluku $3\frac25 = \frac{15}3 + \frac25 = \frac{15+2}3$ = \frac{17}2$.
Sekalukua käytetään, koska usein halutaan, että murtoluvun osoittaja ei ole suurempi kuin sen nimittäjä.
Esim. $\frac36$ ja $\frac12$ ovat yhtäsuuria, koska $$3=3\times1 \hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}6=3\times 2$$
Esim 2. $\frac{10}{12}$ ja $\frac56$ ovat yhtäsuuria, koska $$10=2\times5 \hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}12=2\times 6$$
Esim 3. $\frac{14}6$ ja $\frac73$ ovat yhtäsuuria, koska $$14=2\times7 \hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}6=2\times 3$$
Todistetaan, että $\frac{14}6 = \frac73$.
Meidän tulee osoittaa, että $7$:s piste nollasta oikealle kolmasosien jonossa on myös $14$:s piste nollasta oikealle kuudesosien jonossa.
Jaetaan jokainen kolmasosa kahteen (2) yhtäsuureen osaan:
Nyt lukusuoralla on jono kuudesosia, ja 14:s piste nollasta oikealle on tasan 7:s piste nollasta oikealle kolmasosien jonossa, kuten pitikin.
Kumpi on suurempi $\frac{19}{54}$ vai $\frac6{17}$?
Ensin pitää miettiä, mitä tarkoitetaan termillä "suurempi"? Lukusuora antaa heti selvän määritelmän: murtoluku $\frac mn$ on suurempi kuin toinen murtoluku $\frac k\ell$, jos lukusuoralla $\frac mn$ on $\frac k\ell$:n oikealla puolen:
Siispä, kumpi murtoluvuista $\frac{19}{54}$ vai $\frac6{17}$ on lukusuoralla enemmän oikealla?
Hankaluus on verrata $19$. pistettä nollan oikealla puolella 54.-osien jonossa kuudenteen ($6$.) pisteeseen seitsemästoistaosien jonossa.
Vastaava ongelma
Kumpi on pidempi, 19 jalkaa vai 6 metriä?
Ilmaistaan luvut samassa yksikköjärjestelmässä, vaikka senttimetreissä. Selvästi $19$ jalkaa $= 19\times 12$ tuumaa $=228$ tuumaa $=228\times 2.54$ cm $=579.12$ cm.
Siis $6$ m$=600$ cm on pidempi.
Vastaavasti etsitään 54:s-osien ja 17:s-osien yhteinen mitta. Tietenkin $$\frac1{54} = \frac{17}{54\times17}\hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}\frac1{17}=\frac{54}{54\times17} $$ eli $\frac1{54\times17}$ toimii yhteisenä yksikkönä molemmille.
Vielä kerran:
$$\frac{19}{54}= \frac{19\times17}{54\times17} = \frac{323}{54\times 17} $$ $$\frac6{17}= \frac{54\times6}{54\times17} = \frac{324}{54\times 17} $$Eli ilmaistaessa $\frac1{54\times17}$-osissa, 324:s piste nollasta oikealla on ihan selvästi 323. pisteen oikealla puolella. Siispä $\frac6{17}$ on suurempi kuin $\frac{19}{54}$.
JATKA Bethel-5.pdf page 79.
Jaa harpilla jana AB kolmeen/ neljään, seitsemään osaan. Valitse itse janan AB pituus. Katso alla olevasta kuvasta ohjetta.
Järjestetään murtoluvut $\frac34$, $\frac78$ ja $\frac12$ suuruusjärjestykseen.
Murtoluvuille täytyy löytää yhteinen mitta. Koska $8=4\times 2 = 2\times 4$, lavennetaan siten, että kaikkien murtolukujen nimittäjä on kahdeksan. Siis $$\begin{align*} \frac34 &= \frac68 \\ \frac78 &= \frac78 \\ \frac12 &= \frac48 \end{align*}$$
Nyt murtoluvut on helppo laittaa suuruusjärjestykseen.
Vastaus: Suuruusjärjestys alkuperäisessä muodossa on $\frac12$, $\frac34$ ja $\frac78$
Katso Wikipediasta, mitä ovat egyptiläiset murtuvut.
Katso Wikipediasta, mikä on Fareyn jono.
Pääsit loppuun. Kysy Markulta välitesti ja/tai ohjeita seuraavaan kappaleeseen.
cc3.0 Marika Toivola & Tiina Härkönen: Avoin matematiikka Lisäykset, muutokset ja virheet Markun käsialaa.