$ %\newlength\dlf \newcommand\alignedbox[2]{ % #1 = before alignment % #2 = after alignment & %\begingroup %\settowidth\dlf{$\displaystyle #1$} %\addtolength\dlf{\fboxsep+\fboxrule} %\hspace{-\dlf} \hspace{-.4cm} \boxed{#1 #2} %\endgroup } $ $ \DeclareMathSymbol{,}{\mathpunct}{letters}{"3B} \DeclareMathSymbol{.}{\mathord}{letters}{"3B} $

Murtoluvut

Murto- eli rationaalukuja on esimerksi $\frac23$, $\frac79$ jne. Yläkerrassa on osoittaja ja alakerrassa nimittäjä. O niinkuin otsa niinkuin osoittaja ja N niinkuin nenä niinkuin nimittäjä.

Huomaa, että allaolevat murtoluvut ovat yhtä suuret

$$ \frac12 = \frac24=\frac36=\frac48$$ ja se voidaan nähdä esimerkiksi kuvasta:

Tai paremmin janasovelluksella.

$\frac12$-osiin mahtuu kaksi neljäsosaa, kolme kuudesosa ja neljä kahdeksasosaa. Selkeää, eikö vain?

Laventaminen ja supistaminen ovat tuttuja alakoulusta.

Murtolukujen määritelmä, eli mitä murtoluvut ovat

Määritellään ensin kaikki murtoluvut, joiden jakaja (nimittäjä) on $3$.

Otetaan lukusuora, ja merkitään siihen kaksi pistettä. Vasemmanpuoleinen olkoon nimeltään $0$ ja oikeanpuoleinen $1$. Merkitäänn tätä janaa symbolilla $[0,1]$, ja kutsutaan sitä yksikköjanaksi.

Mitataan samanmittaisia pätkiä kuin $[0,1]$ pisteen $1$ oikealle puolelle, ja merkitään näin saatuja pisteitä merkeillä $2$, $3$, $4$, $\dots$.

Tällä tavoin saatu jono tasaetäisyyden pisteistä oikealle päin vastaa kokonaislukuja, ja sen nimi on lukusuora.

Yksikköjana $[0,1]$ on kokonainen, ja vastaavat janat $[1,2]$ eli jana pisteiden $1$ ja $2$ välillä, $[2,3]$ jne ovat myös kokonaisia. Jaetaan jokainen tällainen jana kolmanneksiin. Nyt voidaan laskea kolmanneksien lukumäärä menemällä vasemmalta oikealle aloittaen luvusta $0$. Siis punainen jana vastaa kahta kolmannesta:

Alla oleva vihreä jana koostuu seitsemästä kolmasosasta

Selvästi punainen jana voidaan korvata sen oikean puoleisella päätepisteellä, mitä merkitään symbolilla $\frac23$:

Vastaavasti vihreä jana korvataan sen oikeanpuoleisella päätepisteellä, joka on $\frac73$

Siispä jokainen kokonaisen osa (kolmasosa) onkin piste lukusuoralla. Piste, mikä on $7$:s piste oikealle nollasta $0$ on $\frac73$. Yleisesti voidaan sanoa, että $n$:s piste oikealle on $\frac n3$.

Murtoluvut, joissa nimittäjä on 5 laitetaan vastaavasti lukusuoralle: $\frac85$ on $8$s piste nollasta oikealle viidesosien jonossa. Ja niin edelleen.

Jos $n$ on positiivinen kokonaisluku, niin murtoluku $\frac3n$ on kolmas piste nollasta oikealle $n$:s-osien lukusuoralla, ja jos $m$ on kokonaisluku, niin murtoluku $\frac mn$ on $m$:s piste oikealle $0$:sta laskettuna $n$:s-osien lukusuoralla.

Sekaluku

Sekaluku on luku, jossa on kokonaislukuosa (esim $3$) ja murtolukuosa (esim $\frac25$) yhdistettynä peräkkäin ilman plusmerkkiä välissä (esim $3\frac25$). Se tarkoittaa samaa kuin nämä luvut summattuna, $3\frac25 = 3 + \frac25$. Kokonaislukuosa ($3$) voidaan laventaa murtoluvuksi (viidesosiksi), koska $3 = \frac{15}3$, joten sekaluku $3\frac25 = \frac{15}3 + \frac25 = \frac{15+2}3$ = \frac{17}2$.

Sekalukua käytetään, koska usein halutaan, että murtoluvun osoittaja ei ole suurempi kuin sen nimittäjä.

Murtoluvut: Yhtäsuuruus

Esim. $\frac36$ ja $\frac12$ ovat yhtäsuuria, koska $$3=3\times1 \hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}6=3\times 2$$

Esim 2. $\frac{10}{12}$ ja $\frac56$ ovat yhtäsuuria, koska $$10=2\times5 \hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}12=2\times 6$$

Esim 3. $\frac{14}6$ ja $\frac73$ ovat yhtäsuuria, koska $$14=2\times7 \hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}6=2\times 3$$

Yhtäsuuret murtoluvut. Olkoon $\frac nm$ ja $\frac k\ell$ kaksi murtolukua. Jos on olemassa positiivinen kokonaisluku $c$ siten, että $$m=ck\hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}n=c\ell$$ niin murtoluvut ovat yhtäsuuria, eli $\frac mn = \frac k\ell$.

Todistetaan, että $\frac{14}6 = \frac73$.

Meidän tulee osoittaa, että $7$:s piste nollasta oikealle kolmasosien jonossa on myös $14$:s piste nollasta oikealle kuudesosien jonossa.

Jaetaan jokainen kolmasosa kahteen (2) yhtäsuureen osaan:

Nyt lukusuoralla on jono kuudesosia, ja 14:s piste nollasta oikealle on tasan 7:s piste nollasta oikealle kolmasosien jonossa, kuten pitikin.

Esimerkki

Kumpi on suurempi $\frac{19}{54}$ vai $\frac6{17}$?

Ensin pitää miettiä, mitä tarkoitetaan termillä "suurempi"? Lukusuora antaa heti selvän määritelmän: murtoluku $\frac mn$ on suurempi kuin toinen murtoluku $\frac k\ell$, jos lukusuoralla $\frac mn$ on $\frac k\ell$:n oikealla puolen:

Siispä, kumpi murtoluvuista $\frac{19}{54}$ vai $\frac6{17}$ on lukusuoralla enemmän oikealla?

Hankaluus on verrata $19$. pistettä nollan oikealla puolella 54.-osien jonossa kuudenteen ($6$.) pisteeseen seitsemästoistaosien jonossa.

Vastaava ongelma

Kumpi on pidempi, 19 jalkaa vai 6 metriä?

Ilmaistaan luvut samassa yksikköjärjestelmässä, vaikka senttimetreissä. Selvästi $19$ jalkaa $= 19\times 12$ tuumaa $=228$ tuumaa $=228\times 2.54$ cm $=579.12$ cm.

Siis $6$ m$=600$ cm on pidempi.

Vastaavasti etsitään 54:s-osien ja 17:s-osien yhteinen mitta. Tietenkin $$\frac1{54} = \frac{17}{54\times17}\hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}\frac1{17}=\frac{54}{54\times17} $$ eli $\frac1{54\times17}$ toimii yhteisenä yksikkönä molemmille.

Vielä kerran:

$$\frac{19}{54}= \frac{19\times17}{54\times17} = \frac{323}{54\times 17} $$ $$\frac6{17}= \frac{54\times6}{54\times17} = \frac{324}{54\times 17} $$

Eli ilmaistaessa $\frac1{54\times17}$-osissa, 324:s piste nollasta oikealla on ihan selvästi 323. pisteen oikealla puolella. Siispä $\frac6{17}$ on suurempi kuin $\frac{19}{54}$.

JATKA Bethel-5.pdf page 79.

Harppiharjoitus

Jaa harpilla jana AB kolmeen/ neljään, seitsemään osaan. Valitse itse janan AB pituus. Katso alla olevasta kuvasta ohjetta.

Esimerkki 1

Järjestetään murtoluvut $\frac34$, $\frac78$ ja $\frac12$ suuruusjärjestykseen.

Murtoluvuille täytyy löytää yhteinen mitta. Koska $8=4\times 2 = 2\times 4$, lavennetaan siten, että kaikkien murtolukujen nimittäjä on kahdeksan. Siis $$\begin{align*} \frac34 &= \frac68 \\ \frac78 &= \frac78 \\ \frac12 &= \frac48 \end{align*}$$

Nyt murtoluvut on helppo laittaa suuruusjärjestykseen.

Vastaus: Suuruusjärjestys alkuperäisessä muodossa on $\frac12$, $\frac34$ ja $\frac78$

223.
Merkitse tummennettu alue murtolukuna.
241.
Ratkaise luvut $a$ ja $b$ vihjeiden avulla.
a) $\frac56 = \frac ab$ ja lukujen $a$ ja $b$ erotus on $-7$
b) $\frac ab = \frac47$ ja lukujen $a$ ja $b$ summa on $33$
c) $\frac89 = \frac ab$ ja luvut $a$ ja $b$ ovat peräkkäisiä parillisia lukuja
d) $\frac ab = \frac49$ ja luku $a$ on $30$ suurempi kuin luku $b$
242.
Täydennä puuttuvat luvut $x$ ja $y$.
a) $\frac34 > \frac x8 > \frac y2 > \frac 5{12}$
b) $\frac{15}{16} > \frac x8 > \frac y6 > \frac 23$
234.
Kuvassa on piirrettynä vain osa kuviosta. Piirrä koko kuvio vihkoosi.
Egyptiläiset murtoluvut

Katso Wikipediasta, mitä ovat egyptiläiset murtuvut.

Fareyn jono

Katso Wikipediasta, mikä on Fareyn jono.

Loppu!

Hyvä

Pääsit loppuun. Kysy Markulta välitesti ja/tai ohjeita seuraavaan kappaleeseen.

Etusivulle

  • Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku
  • Murtolukujen kertolasku
  • Murtolukujen jakolasku
  • Murtolukujen käänteisluku
  • cc3.0 Marika Toivola & Tiina Härkönen: Avoin matematiikka Lisäykset, muutokset ja virheet Markun käsialaa.