$ %\newlength\dlf \newcommand\alignedbox[2]{ % #1 = before alignment % #2 = after alignment & %\begingroup %\settowidth\dlf{$\displaystyle #1$} %\addtolength\dlf{\fboxsep+\fboxrule} %\hspace{-\dlf} \hspace{-.4cm} \boxed{#1 #2} %\endgroup } $ $ \DeclareMathSymbol{,}{\mathpunct}{letters}{"3B} \DeclareMathSymbol{.}{\mathord}{letters}{"3B} $

Lukujonot

Lukujono $1, 2, 4, 8, 16, 32,\dots$ on esimerkki geometrisesta lukujonosta. Siinä kukin termi saadaan kertomalla edellinen luvulla $2$. Tällaista jonoa, jossa termi saadaan edellisestä kertomalla se samalla vakiolla, sanotaan geometriseksi lukujonoksi.

Geometrisessa lukujonossa kahden peräkkäisen termin suhde on vakio. Geometrisen jonon yleinen termi on $$ a_n = a_1 q^{n-1}$$ missä $a_1$ on lukujonon ensimmäinen termi ja $q$ suhdeluku (quotient).
Esimerkkki 1s
Bakteerit lisääntyvät jakautumalla kahtia. Eräitä bakteereja on aluksi $10$ kpl ja niiden lukumäärä kaksinkertaistuu tunnin välein. Bakteerin lukumäärää voidaan kuvata lukujonon avulla $$10, 20, 40, 80, 160,\dots$$

Kyseessä on geometrinen lukujono, jonka ensimmäinen termi on $a_1 = 10$ ja suhdeluku $q = 2$.

a) Muodostetaan lukujonon yleinen termi suhdeluvun ja ensimmäisen termin avulla $$a_n = 10\times 2^{n-1}$$ b) Lasketaan, paljonko bakteereita on 20 tunnin kuluttua $$a_{20} = 10\times 2^{20-1} = 5242880$$
Esimerkkki 2
Heikki talletti tililleen $1500$ €. Tilin vuotuinen korko oli $3,0 \%$, joten jokaisena vuonna talletus kasvaa $1,03$-kertaiseksi. Tilillä oleva rahamäärä voidaan kuvata geometrisena jonona $$\begin{align*} 1500 &€ \times 1.03\\ 1500 &€ \times1.03^2\\ 1500 &€ \times 1.03^3\\ 1500 &€ \times1.03^4\\ &\dots\\ 1500 &€ \times1.03^n \end{align*}$$ Lukujonon ensimmäinen termi on $a_1 = 1500 € \times 1,03 = 1545 €$ ja suhdeluku $q = 1.03$.
a) Muodostetaan lukujonon yleinen termi $$a_n = 1545 €\times 1.03^{n-1}$$ b) Lasketaan, paljonko Heikillä on säästöjä 10 vuoden kuluttua $$a_{10} = 1545 €\times 1.03^{10-1} = 2015.87€$$
1
Kirjoita geometrisen jonon neljä seuraavaa termiä, kun jonon ensimmäisen termi on $6$ ja suhdeluku $q$ on
a) $4$
b) $–2$
c) $\frac{-1}2$
d) $\frac{3}2$
2
Mikä on geometrisen jonon suhdeluku $q$?
a) $1, 3, 9, 27, \dots$
b) $2, 4, 8, 16,\dots$
c) $\frac12, \frac14, \frac18, \frac1{16}, \dots$
3
Määritä edellisen tehtävän lukujonojen yleiset termit.
4
Geometrisen jonon ensimmäinen termi on $-1$ ja suhdeluku $-1$. Määritä lukujonon $99$. ja $100$. termi.
5
Onko lukujono geometrinen vai aritmeettinen? a) $8, 24, 72, 216, \dots$
b) $5, -15, 45, -135, \dots$
c) $23, 26, 29, 32, \dots$
d) $–2, -4, -6, -8, \dots$
e) $\frac15, \frac25, \frac45, 1\frac35, \dots$
6
Voiko lukujono olla geometrinen, jos lukujono ei ole vähenevä eikä kasvava?
7
Voiko lukujono olla sekä aritmeettinen että geometrinen?
8
Määritä geometrisen jonon suhdeluku $q$. a) $10, 40, 160, 640,\dots$
b) $\frac12, \frac16, \frac1{18}, \frac1{54}\dots$
c) $3a , 3a^2 , 3a^3 , 3a^4 ,\dots$
9
Määritä lukujonon $1, x, x2, x3, \dots$s kahdeskymmenes termi.
10
Geometrisen jonon kaksi ensimmäistä termiä ovat $\frac12$ ja $2$. Määritä lukujonon $4$. ja $8$. termi.
11
Geometrisen jonon ensimmäinen termi on $6$ ja suhdeluku $4$. Määritä lukujonon $7$. termi.
12
Geometrisen jonon kaksi ensimmäistä termiä ovat $-3$ ja $4$. Määritä lukujonon $3$. ja $6$. termi.
13
Geometrisen jonon toinen termi on $7$ ja suhdeluku $3$. Määritä lukujonon $1$. ja $9$. termi.
14
Miten suureksi $1000$ euron talletus kasvaa neljässä vuodessa, kun vuosikorko on $6 \%$ ja korko lisätään pääomaan
a) vuosittain
b) puolivuosittain?
15
Geometrisen jonon ensimmäinen termi on $6$ ja neljäs termi $750$. Määritä jonon suhdeluku.
16
Ilmoita geometrisen jonon $5$. termi, kun jonon ensimmäinen termi on $24$ ja suhdeluku $1.5$.
17
Mikä on muuttujan $x$ oltava, jotta lukujono $x, x + 8, 2x -14$ olisi
a) aritmeettinen
b) geometrinen?
18
Selvitä miten lasketaan geometrisen lukujonon termien summa. Laske lukujonojen kymmenen ensimmäisen termin summa. a) $1, 2, 4, 8, \dots$
b) $5, 10, 20, 40, \dots$
19
Määritä $x$, kun lukujono $1, x, 9, \dots$ on a) aritmeettinen
b) geometrinen
20
Bakteeri jakautuu $15$ minuutin välein. Montako bakteeria on kuuden tunnin kuluttua, kun alussa on viisi bakteeria?
21
Kulutus- ym. tottumuksen liittyvät ikäkauteen. Tutkimusta varten valittiin viisi ikäluokkaa, joista ensimmäisen muodostavat 1-vuotiaat ja viimeisen 81-vuotiaat. Miten luokat valittiin, kun ikäporras-tus suoritetaan
a) lineraarisen mallin (aritmeettisen lukujonon)
b) eksponentiaalisen mallin (geometrisen lukujonon) mukaan? (yo syksy 1993)
22
Hirsirakennuksen pystyttäjä ilmoittaa seinien painuvan kokoon ensimmäisenä vuotena $1 \% $korkeudesta ja kunakin seuraavana vuotena $60 \%$ edellisen vuoden painumasta. Voiko vastavalmistuneeseen hirsirakennuksen $270$ cm korkeaan huoneeseen huoletta pystyttää $262$ cm korkean kaapin? (yo syksy 1998)
23
Uutta pesukonemallia Suomeen tuova yritys sai joulukuussa 2000 myydyksi $470$ pesukonetta. Yritys sai mainostajalta tarjouksen, jossa luvattiin mainostamisen lisäävän myyntiä vuoden 2001 alusta lähtien $25 \%$ edelliseen kuukauteen verrattuna joka kuukausi kahden vuoden ajan.
a) Kuinka monta pesukonetta yritys myisi tarjouksen mukaan vuoden 2001 kesäkuussa?
b) Kuinka monta konetta myynti olisi koko kahden vuoden aikana? (yo kevät 2002)
Loppu!

Hyvä

Pääsit loppuun. Kysy Markulta välitesti ja/tai ohjeita seuraavaan kappaleeseen.

Etusivulle

  • Lukujonot
  • Aritmeettinen lukujono
  • Geometrinen lukujono (tämän teit nyt. Saat testin tästä tai useammasta pätkästä.)
  • Fibonaccin lukujono (ekstramielenkiintoista)
  • Pascalin kolmio (ekstramielenkiintoista)
  • Lukujonot ja funktiot
  • cc3.0 Marika Toivola & Tiina Härkönen: Avoin matematiikka Lisäykset, muutokset ja virheet Markun käsialaa.