$ %\newlength\dlf \newcommand\alignedbox[2]{ % #1 = before alignment % #2 = after alignment & %\begingroup %\settowidth\dlf{$\displaystyle #1$} %\addtolength\dlf{\fboxsep+\fboxrule} %\hspace{-\dlf} \hspace{-.4cm} \boxed{#1 #2} %\endgroup } $ $ \DeclareMathSymbol{,}{\mathpunct}{letters}{"3B} \DeclareMathSymbol{.}{\mathord}{letters}{"3B} $

Lukujonot

Aritmeettisessa lukujonossa kahden peräkkäisen termin erotus on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ missä $a_1$ on lukujonon ensimmäinen termi ja $d$ erotusluku (differenssi).

Jos kahden peräkkäisen termin erotus ei ole vakio, niin lukujono ei ole aritmeettinen.

Esimerkki 1
Luonnollisten lukujen joukko $\{0, 1, 2, 3, \cdots \}$ on esimerkki kasvavasta lukujonosta. Siinä kukin termi saadaan lisäämällä edelliseen luku $1$.
Esimerkki 2
Abstraktisti voidaan kirjoittaa $$\begin{align*} a_1 &= a_1 \\ a_2 &= a_1 + d &&\text{(lisätään vakio)} \\ a_3 &= a_2 + d = a_1 + d+ d = a_1 +2d &&\text{(lisätään vakio)} \\ a_4 &= a_3 + d = a_1 + 2d+ d = a_1 +3d &&\text{(lisätään vakio)} \\ \end{align*}$$ joten yleisesti saadaan $a_n = a_1 + (n-1)d$. Tätä yleistä sääntöä ei tarvitse yläkoulussa vielä osata.
Esimerkki 3
Luvulla 10 jaolliset luonnolliset luvut muodostavat aritmeettisen lukujonon $0, 10, 20, 30, \dots$. Erotusluku $d$ on $10$ ja yleinen termi on $$a_n = 0 + (n-1)10 = 10n -10$$
Esimerkki 4
Oskari aloittaa säästämisen tablettitietokonetta varten. Hänellä on säästössä valmiiksi jo $100$ € ja joka viikko hän laittaa säästöön $8$ €. Lasketaan, paljonko rahaa Oskarilla on $20$ viikon jälkeen.

Kyseessä on aritmeettinen lukujono, jonka ensimmäinen termi on $a_1 = 100$ ja erotusluku $d = 8$. Näiden avulla saadaan lukujonon yleinen termi $$\begin{align*} a_n &= 100 + (n-1)\times 8 \\ &= 100 + 8n -8 \\ &= 92 + 8n \end{align*}$$ Jotenka lukujonon $20.$ termi on $$a_{20} = 92 + 8\times 20 = 252$$ VastausOskarilla on kahdenkymmenen säästöviikon jälkeen rahaa $252$ euroa.

1
Mitkä lukujonoista ovat aritmeettisia?
a) $3, 8, 10, 34, \dots$
b) $1, 2, 4, 7, 11, \dots$
c) $1, 5, 9, 13, \dots$
d) $–1, -4, -7, -10,\dots$
2
Määritä jonon termit $a_1, a_2, a_3, a_4$ ja $a_5$, kun jonon yleinen termi on
a) $a_n = 2n+1$
b) $a_n = n^2 -2$
3
Laske lukujonon $a_1=1$, $a_2=1$ ja $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ kun $n\geq3$ kahdeksan ensimmäistä termiä. Mikä lukujono on kyseessä?
4
Keksi kaksi aritmeettista lukujonoa ja laske kummastakin viisi ensimmäistä termiä.
5
Voiko lukujono olla aritmeettinen, jos lukujono ei ole vähenevä eikä kasvava?
6
Mikä on lukujonon $8, 12, 16, \dots$
a) erotusluku
b) kymmenes termi
c) sadas termi?
7
Mikä on lukujonon $6, 2, -2, -6, \dots$
a) erotusluku
b) $n$:s termi?
8
Kirjoita aritmeettisen jonon neljä seuraavaa termiä, kun jonon ensimmäisen termi on $4$ ja erotusluku $d$ on
a) $d=2 $
b) $d=–3$
c) $d=\frac12$
9
Ovatko edellisen tehtävän lukujonot kasvavia vai väheneviä?
10
Mikä on aritmeettisten lukujonojen erotusluvut?
a) $1, 2, 3, 4, 5, \dots$
b) $0, 5, 10, 15, 20,\dots$
c) $–1, -3, -5, -7, -9,\dots$
11
Muodosta edellisen tehtävän lukujonojen yleiset termit.
12
Onko Fibonaccin lukujono
a) aritmeettinen?
b) kasvava vai vähenevä lukujono?
13
Mikä on lukujonon $x, 2x, 3x, \dots$ kuudeskymmenes termi?
14
Monesko termi luku $213$ on aritmeettisessa lukujonossa $a_n = 4n+5$?
15
Mitkä ovat lukujonojen kolme seuraavaa termiä?
a) $x-y, x, x+y, \dots$
b) $(x +3y), (x + y), (x- y), \dots$
16
Pauliina ja Jukka säästävät rahaa Brasilian matkaa varten. He laittavat joka kuukausi säästöön $250$ €. Paljonko heillä on rahaa säästössä $9$ kuukauden säästämisen jälkeen?
17
Aritmeettisen lukujonon $2, 4, 6,\dots$ eräs termi on $50$. Mikä on kyseisen termin järjestysnumero n?
18
Letkajenkkaa tanssitaan jonomuodostelmassa niin, että tehdään hyppy eteen, hyppy taakse ja kolme hyppyä eteenpäin. Montako hyppyä vaaditaan, että letkajenkassa on kuljettu $17,40$ metrin mittainen matka?
Mittaa letkajenkan hypyn pituus.
19
Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on $4$ ja toinen $8$. Määritä jonon kahdeksas ja yhdeksäs termi. Onko jono kasvava vai vähenevä?
20
Lukusuoran pisteet ovat tasaisin välimatkoin. Mikä luku on $x$:n paikalla?
21
Aseta lukujen $7$ ja $28$ väliin kuusi lukua siten, että ne muodostavat aritmeettisen jonon.
22
Jos tänään on perjantai, mikä päivä on $10001$ yön kuluttua?
23
Määritä lausekkeen $a_n^2 - a_{n+1}a_{n-1}$ arvo $n$:n arvolla $4$, kun lukujonona $a_1, a_2, a_3, \dots$ on Fibonaccin lukujono.
24
Montako seitsemällä jaollista lukua on luonnollisten lukujen joukossa $1, 2, 3, 4, \dots, 1000$?
Vihje: Määritä lukujono, joka muodostuu kaikista seitsemällä jaollisista luvuista.
25
Todista, että aritmeettisessa lukujonossa on jokainen termi viereisten termiensä keskiarvo.
26
Selvitä (vaikka internetistä) miten lasketaan aritmeettisen lukujonon termien summa. Laske summat.
a) $1 + 2 + 3 + \cdots+ 100$
b) $5 + 10 + 15 +\cdots + 50$
27
Kuinka monta prosenttia suurempi on aritmeettisen lukujonon $2, 4, 6, 8, \dots$ $999$ ensimmäisen termin summa kuin sen $888$ ensimmäisen termin summa? (yo kevät 2002)
28
Kymmenen kilometrin valtatieosuudella pystytetään valaisinpylväät $50$ metrin välein. Urakoitsija hakee autolla kolme pylvästä kerrallaan varastosta, kuljettaa pylväät oikeille paikoille ja lähtee hakemaan seuraavaa erää. Varasto sijaitsee saman tien varressa kaksi kilometriä ennen valaistavan osuuden alkua. Työ alkaa varastolta ja päättyy sinne. Kuinka pitkän matkan urakoitsija joutuu siirtotyössä vähintään ajamaan? (yo kevät 1999)
Loppu!

Hyvä

Pääsit loppuun. Kysy Markulta välitesti ja/tai ohjeita seuraavaan kappaleeseen.

Etusivulle

  • Lukujonot
  • Aritmeettinen lukujono (tämän teit nyt. Saat testin tästä tai useammasta pätkästä.)
  • Geometrinen lukujono
  • Fibonaccin lukujono (ekstramielenkiintoista)
  • Pascalin kolmio (ekstramielenkiintoista)
  • Lukujonot ja funktiot
  • cc3.0 Marika Toivola & Tiina Härkönen: Avoin matematiikka Lisäykset, muutokset ja virheet Markun käsialaa.