$ %\newlength\dlf \newcommand\alignedbox[2]{ % #1 = before alignment % #2 = after alignment & %\begingroup %\settowidth\dlf{$\displaystyle #1$} %\addtolength\dlf{\fboxsep+\fboxrule} %\hspace{-\dlf} \hspace{-.4cm} \boxed{#1 #2} %\endgroup } $ $ \DeclareMathSymbol{,}{\mathpunct}{letters}{"3B} \DeclareMathSymbol{.}{\mathord}{letters}{"3B} $

Lukujonot

Kun lukuja asetetaan peräkkäin (esimerkiksi) pilkuilla erotettuina, muodostuu lukujono. Lukujono voi olla päättyvä tai päättymätön. Päättymättömän jonon lopussa on kolme pistettä.

Lukujono muodostuu usein koulussa tietyn säännön mukaan, jolloin termin järjestysluvun $n$ avulla saadaan itse termi.

Lukujono $(a_n)$ on luvuista muodostuva jono, joka voidaan esittää luettelona $a_1, a_2, a_3, \dots$, missä jonon jäseniä $a_1$, $a_2$ jne sanotaan termeiksi tai alkioiksi. Luku $a_1$ on lukujonon $1$. termi ja $a_2$ on sen $2$. termi jne. Lukujonon termiä, jonka järjestysluku on $n$, sanotaan sen yleiseksi termiksi, ja sitä merkitään $a_n$.
Esimerkki 1

Lukujonon $1, 4, 7, 10, 13,\dots$ seuraavat luvut saattavat olla helposti pääteltävissä, sillä ne näyttävät muodostuvan tietyn yksinkertaisen säännön mukaan.

Aivan varma et voi olla, jollei ole muuta kerrottu.

Esimerkki 2

Määritetään lukujonon kolme ensimmäistä termiä ja $15$. termi, kun yleinen termi on $a_n = 3 +2n$.

$n$ kuvaa termin järjestyslukua, joten ensimmäinen termi saadaan, kun luvun $n$:n paikalle sijoitetaan $1$, toinen termi, kun $n$:n paikalle sijoitetaan $2$ jne. $$\begin{align*} a_n &= 3+ 2n \\ a_1 &= 3+2\times1 = 5 \\ a_2 &= 3+2\times2 = 7 \\ a_3 &= 3+2\times3 = 9 \\ \vdots\\ a_{15} &= 3+2\times15 = 33 \\ \end{align*}$$

Esimerkki 3
Mikä on lukujonon sadas termi, jos lukujono jatkaa tätä helppoa ja ilmeistä olemassaoloaan? $$1, 4, 7, 10, 13, \dots$$

Ratkaisu. Näyttää Etsiltä, että lukujonon seuraava termi saadaan lisäämällä edelliseen termiin luku kolme ($3$). Etsitään sääntö siihen, miten lukujonon termit muodostuvat. Kirjoitetaan ne ensin selkeämmin näkyviin: $$\begin{align*} 1 &\to 1 \\ 2 &\to 4 \\ 3 &\to 7 \\ 4 &\to 10 \\ 5 &\to 13 \\ \vdots \\ n &\to a_n \\ \end{align*}$$

Käytännössä joudutaan kokeilemaan eri vaihtoehtoja, kunnes näyttäisi täsmäävän: $$\begin{align*} n &\to n && n \to 2n && n \to 3n && n \to 4n\\ 1 &\to 1 && 1 \to 2 && 1 \to 3 && 1 \to 4\\ 2 &\to 2 && 2 \to 4 && 2 \to 6 && 2 \to 8\\ 3 &\to 3 && 3 \to 6 && 3 \to 9 && 3 \to 12\\ 4 &\to 4 && 4 \to 8 && 4 \to 12 && 4 \to 16\\ 5 &\to 5 && 5 \to 10 && 5 \to 15 && 5 \to 20\\ \vdots \\ \end{align*}$$

Näistä mikään ei näytä täsmäävän. Jo ensimmäinen bugittaa. Laitetaan se täsmäämään vähentämälllä sopivasti: $$\begin{align*} n &\to n && n \to 2n-1 && n \to 3n-2 && n \to 4n-3\\ 1 &\to 1 && 1 \to 1 && 1 \to 1 && 1 \to 1\\ 2 &\to 2 && 2 \to 3 && 2 \to 4 && 2 \to 5\\ 3 &\to 3 && 3 \to 5 && 3 \to 7 && 3 \to 9\\ 4 &\to 4 && 4 \to 7 && 4 \to 10 && 4 \to 13\\ 5 &\to 5 && 5 \to 9 && 5 \to 13 && 5 \to 17\\ \vdots \\ \end{align*}$$

ythän löytyi oikea. Se on $a_n = 3n-2$, joten sadas termi saadaan helposti $a_{100} = 3\times100 - 2 = \boxed{298}$

1
Kirjoita lukujonon seuraavat viisi termiä, kun ensimmäinen termi on $1$ ja muut muodostuvat seuraavien sääntöjen mukaan.
a) Lisää edelliseen termiin $3$.
b) Kerro edellinen termi kahdella.
c) Lisää edelliseen termiin $-4$.
d) Kerro edellinen termi luvulla $–1$ ja lisää $3$.
2
Kirjoita lukujonon kolme seuraavaa lukua sekä olettamasi sääntö, jolla lukujono on muodostettu.
a) $3, 10, 17, 24, \dots$
b) $60, 54, 48, 42, \dots$
c) $2, 8, 32, 128, \dots$
d) $729, 243, 81, 27, \dots$
3
Kirjoita lukujonon neljä seuraavaa parillista lukua sekä keksimäsi sääntö lukujen muodostamiseksi:
a) $6, \dots$
b) $30, \dots$
c) $78, \dots$
4
Kirjoita lukujonon neljä seuraavaa paritonta lukua sekä keksimäsi sääntö lukujen muodostamiseksi:
a) $3, \dots$
b) $67, \dots$
c) $99, \dots$
5
Kirjoita lukujonon viisi seuraava jäsentä sekä keksimäsi sääntö:
a) $1, 10, 100, 1000, \dots$
b) $31, 29, 27, 25, \dots$
c) $1, 4, 16, 64, \dots$
d) $2, 4, 8, 16 \dots$
6
Lukujonon ensimmäinen luku ja sääntö on annettu, kirjoita lukujonon kolme seuraavaa termiä.
a) $160$ (jaa kahdella).
b) $6$ (kerro kolmella)
c) $2$ (kerro neljällä ja vähennä kolme)
d) $5$ (kerro kahdella ja vähennä neljä)
7
Montako ympyrää on
a) viidennessä
b) kuudennessa kuviossa?
Vihje: Luvut ovat selvästi kolmiolukuja.
8
Lukujono määritellään yleisen termin $a_n = 5n – 2$ avulla. Luettele lukujonon viisi ensimmäistä termiä.
9
Määritä lukujonon $a_n = 1 + 2n$ kolme ensimmäistä termiä ja kymmenes termi.
10
Kirjoita lukujonon kolme seuraavaa termiä ja sääntö kuinka lukujono on muodostettu.
a) $5, 8, 11, 14, \dots$
b) $4, 40, 400, 4000, \dots$
c) $3200, 1600, 800, 400, \dots$
d) $2, 4, 8, 16, \dots$
10
Kopio taulukko vihkoosi ja täydennä puuttuvat luvut.
1 2 3 4 5 $\dots$ $n$
4 7 $3n+1$
10
Kirjoita neljä peräkkäistä parillista lukua alkaen luvusta
a) $10$
b) $28$
c) $98$
10
Kirjoita neljä peräkkäistä paritonta lukua alkaen luvusta
a) $9$
b) $55$
c) $101$
10
Montako ympyrää on
a) viidennessä
b) kymmenennessä kuviossa
c) kuviossa, jonka järjestysluku on $n$?
Vihje: Luvut ovat selvästi neliölukuja.
10
Mitkä ovat lukujonojen puuttuvat termit?
a) $2, 6, a_3, a_4, 18, 22, \dots$
b) $1, 2, 4, b_4, 16, b_6, \dots$
c) $1, 2, c_3, 5, c_5, 13, \dots$
d) $1, 4, 9, d_4, 25, d_6, \dots$
10
Luettele Fibonaccin lukujonon 20 ensimmäistä termiä.
10
Lukujonon termit muodostuvat oheisen säännön mukaan, ”Jos edellinen termi on parillinen, jaa se kahdella. Jos edellinen termi on pariton, kerro se kolmella ja vähennä siitä yksi.” Kirjoita lukujonon kolme seuraavaa termiä, kun viisi ensimmäistä termiä ovat $14, 7, 20, 10, 5$.
10
Lukujonon neljä ensimmäistä lukua ovat $5, 6, 7$ ja $8$. Määritä lukujonon
a) 10000
b) yleinen termi.
Vihje: Sana "määritä" tarkoittaa keksi.
10
Kirjoita lukujonon $\frac12, 1, \frac32, 2, \frac52, \dots $ viisi seuraavaa termiä ja päättele, mikä on lukujonon $160$. termi
10
Mikä on lukujonon $4, 9, 14, 19, 24, \dots$
a) seuraava
b) 300.
c) yleinen termi?
Vihje: Yleisen terminen keksiminen on joskus vaikeaa.
10
Yksi neliö muodostetaan neljällä tulitikulla. Kuinka monta tulitikkua tarvitaan, jos vierekkäisiä neliöitä tehdään
a) $5$
b) $10$
c) $50$
d) $n$ kappaletta?
Vihje: Piirrä kuva
10
Yksi kolmio muodostetaan kolmella tulitikulla. Montako tulitikkua tarvitaan, jos vierekkäisiä kolmioita tehdään
a) $5$
b) $10$
c) $50$
d) $n$ kappaletta?
Vihje: Piirrä kuva
10
Aita rakennetaan kuvan mukaisesti pystypuista ja vaakasuorista lankuista. Jos aita on $25$ m pitkä, kuinka monta
a) pystypuuta
b) vaakasuoraa lankkua siinä on?
Vihje: Ensimmäinen ja/tai viimeinen vaakalankku saattaa olla eri mittainen. Älä välitä siitä nyt.
10
Mikä on jonon $200$. termi? Mikä on jonon yleisen termin lauseke?
$1$ $4$ $9$ $16$ $25$ $\cdots$ ?
1. 2. 3. 4. 5. $\cdots$ $200$.
10
a) Mikä seuraavista lausekkeista ilmaisee neliöiden lukumäärän, kun $n$ on kuvion järjestysluku?
b) Laske yleisen termin lausekkeen avulla, montako palloa on kuviossa, jonka järjestysluku on $5$. Tarkista piirtämällä.

Lausekkeet ovat $$\begin{align*} 2n-1, && n+4, && 4n-3, && 3n-2, && 2n+4 \end{align*}$$

Vihje. Laske kustakin lausekkeesta vaikka kolme ensimmäistä termiä, eli sijoita $n$:lle arvot $0,1$ ja $2$, vuorotellen. Joku täsmännee.
10
Find the $200$th term of the sequence $2, 4, 6, 8, \dots$
10
Mikä on pisteiden lukumäärä, jos neliöitä on
a) $5$
b) $6$
c) $8$
d) $n$?
Vihje. Jatka toki kuvaa vihkoosi pidemmälle ja laske siitä.
10
Kopio taulukko vihkoosi ja täydennä.
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $\cdots$ $n$
5 8 11 14 5.
10
Alla olevaa kuviota sanotaan Pascalin kolmioksi.
a) Kopio kuvio vihkoosi ja täydennä puuttuvat kaksi riviä alhaalta.
b) Mikä on lukujen summa rivillä $10$?
c) Mikä on lukujen summa rivillä $n$?
d) Alla on Pascalin kolmion rivit $11$ ja $12$. Kopio vihkoosi ja täydennä puuttuvat luvut.
Vihje: Huomaa, että 12. rivistäkin puuttuu lukuja.
10
Oletetaan, että vuoden alussa on kaksi vastasyntynyttä kaniparia ja ne lisääntyvät Fibonaccin lukujonon mukaisesti. Montako kaniparia on
a) $3$.
b) $4$.
c) $12$. kuukauden alussa?
10
Kopio taulukko vihkoosi ja täydennä.
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $\cdots$ $n$
1 4 9
0 3 8 15
4 9 16
10
Julius haluaa rakentaa $2$ metrin korkuisen aidan. Aitaelementin leveys on $1$ m ja korkeus $2$ m. Jos hänellä on käytössään vain yksi elementti, voi sen asettaa vain yhdellä tavalla. Kahdesta elementistä hän sen sijaan voi sen sijaan tehdä $2$ metrin korkuisen aidan kahdella eri tavalla ja kolmesta elementistä kolmella eri tavalla.
Monellako eri tavalla Julius voi asetella elementit, jos niitä on
a) 4 kpl
b) 5 kpl
c) 6 kpl
d) 19 kpl?
Vihje: Piirrä kuva eri vaihtoehdoista
Ps. Onpa tyhmä tehtävä. Koita kestää, idea on mielenkiintoinen, mutta teksti tyhmä.
10
Puutarhuri istuttaa omenapuita neliön muotoon. Lisäksi hän istuttaa havupuita omenatarhan ympärille suojatakseen puita tuulelta. Tilanteesta on esitetty seuraavat kuvat, joissa $n$ kuvaa omenapuiden rivien lukumäärää.
Täydennä seuraava taulukko kuvan avulla:
$n$ Omenapuiden lkm Havupuiden lkm
1 1 8
2 4
3
4
5
6
Jos puutarhuri laajentaa omenatarhaansa, kasvaako nopeammin omenapuiden lukumäärä vai havupuiden lukumäärä? Selitä, miten päättelit vastauksen. (Lähde: Kansainvälinen oppimistulosten arvi-ointiohjelma, Pisa)
Loppu!

Hyvä

Pääsit loppuun. Kysy Markulta välitesti ja/tai ohjeita seuraavaan kappaleeseen.

Etusivulle

  • Lukujonot (tämän teit nyt. Saat testin tästä tai useammasta pätkästä.)
  • Aritmeettinen lukujono
  • Geometrinen lukujono
  • Fibonaccin lukujono (ekstramielenkiintoista)
  • Pascalin kolmio (ekstramielenkiintoista)
  • Lukujonot ja funktiot
  • cc3.0 Marika Toivola & Tiina Härkönen: Avoin matematiikka Lisäykset, muutokset ja virheet Markun käsialaa.