Minimipinnat

Hajota saippuapinta silmukan sisältä. Mitä tapahtuu?

Miten naru on? Hajoita saippuakuplapinta toiselta puolelta. Mitä tapahtuu? Liikuta narua solmusta. Saatko ympyrän aikaiseksi? Miksi? Kokeile liikuttaa ympyrää.

Mihin muotoon naru asettuu? Liikuta narua.

Hajota keskellä oleva iso ympyrä. Mitä tapahtuu?

Puhalla tetraedrin keskelle pillillä ja koita saada sen sisään toinen tetraedria muistuttava, mutta kaarevapintainen olio!

Puhalla nurkkiin.

Hajota joku tahko: saatko hypervbolisen paraboloidin?

Tetraedri on vanhuksille tuttu nuoruuden juomista. Se on yksi platonin

Puhalla kuution keskelle pillillä ja koita saada sen sisään toinen kuutiota muistuttava, mutta kaarevapintainen olio!

Puhalla nurkkiin.

Hajoita joku kuution tahko. Mitä tapahtuu?

Kuutio on kaikille tuttu. Ensimmäinen minimipinta antaa ratkaisun ns. junarataongelmaan, eli millainen on lyhin mahdollinen junarata neljän kaupungin välillä. Mieti sitä.

Oktaedrin sisälle muodostuu kuviota.

• Kompassiruusu (Wind Rose), kolmiulotteinen tähti. Siinä näkyy kahdeksan päätuulta. Keskiajan Välimerellä tuulien nimet olivat Tramontana, Gregal, Levante, Siroco (tai Jaloque), Mediodia (tai Sur), Lebeche ja Poniente y Mistral.
• Puhalla keskelle, niin saat oktaedrin käyrillä pinnoilla.
• Oktaedria voit laajentaa puhaltamalla sinne ilmaa. Saat kahdeksan ympyrän pintaa.

Puhalla kuution keskelle pillillä ja koita saada sen sisään toinen kuutiota muistuttava, mutta kaarevapintainen olio!

Puhalla nurkkiin.

Kuutio on kaikille tuttu. Ensimmäinen minimipinta antaa ratkaisun ns. junarataongelmaan, eli millainen on lyhin mahdollinen junarata neljän kaupungin välillä. Mieti sitä.

Puolipallon saat puhallettua pöytäpinnalle. Sen sisälle voit pillillä puhaltaa lisää puolipalloja, koska pillin voit työntää saippuakuplan läpi.

Kuinka monta puolipalloa saat sisäkkäin?

Puhalla pöydän pinnalle hirveän monta samankokoista puolipalloa vierekkäin. Mikä kuvio muodostuu näiden reunakäyristä?

Pallon muoto on minimipinta, mutta jos laitat kaksi palloa yhteen. Mitä tulee?

Pallon saat roikkumaan puhaltamalla lenkistä pillillä tai jotenkin yritä.

Laita toinen pallo sen alapuolelle kiinni roikkumaan.

Laita ensimmäisen pallon alapuolelle kolme palloa roikkumaan vierekkäin. Mikä muoto tulee? Puhalla pillillä keskelle. Mitä kuvio tulee?

Lisää palloja!

Hajoita palloja yksitellen. Mitä tapahtuu? Miksi?

Scherkin keksi kaksi pintaansa vuonna 1834. Ensimmäinen on kahdesti jaksollinen, toinen vain kerran. Ne ovat kolmansia ei-triviaaleja minimipinnan esimerkkejä. Scherkin kaksi pintaa ovat toistensa konjugaatteja.

Katenoidi on heti toinen keksitty minimipinta (tason jälkeen). Keksijä oli Leonhard Euler, vuonna 1744. Katenoidi muodostuu ketjukäyrän pyörähtäessä akselin ympäri.

Katenoidista voi puhaltaa "pallon" eli turpean kappaleen.

Helikoidi on kolmas yksinkertainen minimipinta, ja muistuttaa Arkhimedeen ruuvia. Helikoidi on suunnistettu pinta, ja vuonna 1842 Catalan todisti, että taso ja helikoidi ovat ainoat suunnitestut minimipinnat.

Taso ja helikoidi ovat toisiaan vastaavia, eli tasosta voidaan muodostaa helikoidi, esimerkiksi valitsemalla akseli ja kiertämällä tasoa tuon akselin ympäri. Vastaavasti helikoidista saadaan taso.

Kokeile vetää narun avulla pinta takaisin hajotettuasi sen. Entä voitko poistaa?

Möbiuksen nauha on yksipintainen (eli ei-suunnistettava pinta). Hajota iso keskimmäinen kupla, jolloin jäljelle jää noin kierähtänen munkkirinkilän (toruksen) näköinen yksipintainen kappale.

Seifertin pinnan rajakäyrä eli reunakäyrä on solmu. Tässä tapauksessa se on ns trefoil:n solmu. Se puolestaan on yksinkertaisin ei-triviaali solmu, ja se on ollut historiassa paljolti esillä.

Kuplasta täytyy hajottaa oikeat osat, niin jäljelle jää trefoil-solmun näköinen kuvio.

Jousen saat tehdä kotona. Sitä meillä ei ole täällä.