Neulominen ja kaksiulotteiset pinnat
Kaksiulotteisen kankaan voi tehdä varsin helpolla, mutta kun sen yhdistää sopivasti, saadaan aikaiseksi hyvin mielenkiintoisia olioita. Käsityöntekijät osaavat yhdistää ja tehdä ne saumattomasti, jotenkin yli kiertäen.
Torus eli donitsi
Torus saadaan yhdistämällä paperi ensin sylinteriksi (siniset) ja sitten näin syntyneet päät yhdistetään, jolloin jäljelle jää munkkirinkilän muotoinen kappale. Topologisesti se on sama kuin (korvallinen) kahvikuppi, koska molemmissa on yksi reikä.
Neliväriteoria väittää, että neljä eri väriä riittää värittämään minkä tahansa tasomaisen alueen eri alueet eri väreillä siten, että naapureiden värit eivät ole samoja.
Samaten nähdään, että enintään neljä pistettä voidaan yhdistää viivoilla toisiinsa. Yksi jää aina viivojen sisäpuolelle, ja viidettä viivaa ei pysty vetämään ylittämättä jotakin aiempaa viivaa. Kokeile itse.
Entäpä toruksen pinnalla? Visualisointi näyttää vaikealta, mutta mm
sarah-marie belcastro on moisia väsännyt Carolyn Yackerin kanssa. Käy ilmi, että toruksen pinnalle sopii seitsemän pistettä, jotka voidaan yhdistää katkeamattomilla viivoilla ja vastaavasti tarvitaan seitsemän väritä värittämään toruksen, kuten Julia Collins kertoi. Tätä kutsutaan K7-teoriaksi graafien puolella.
Möbiuksen nauha
Jos toiset päät jätetään yhdistämättä, mutta toisia vastakkaisia sivuja yhdistettäessä käännetään toista puoli kierrosta, niin saadaan kaikille tuttu Möbiuksen nauha. Se on tuttu ainaikin kaupoista, sillä kassahihna saadaan kulumaan tasaisesti molemmilta puolilta tekemällä siitä Möbiuksen nauhan.
Möbius keksi nauhansa vasta 1800-luvulla, mutta käsityöläiset ovat tehneet vastaavia kaulaliinoja jo kauan. Dr Collins näytti, kuinka kauniisti ja vähän tilaa vievästi kaulaliina taittuu kun sen päitä käännetään 180 astetta ennen yhteen liittämistä. Itse asiassa, kaulaliinaa ei käännetä ja yhdistetä, vaan se kudotaan saumattomasti kieroon kiertämällä itsensä yli.
Möbiuksen nauhan voi leikata keskeltä halki ja saadaan yksi tavallinen nauha kahdella 180 asteen käännöksellä. Jos se leikataan vielä, saadaan kaksi toisiinsa kytkettyä silmukkaa.
Paperin päät voi kiertää useammin kuin yhden puolikierroksen. Kolmasti kiertämällä saadaan ns (3,2)-torussolmu reunaviivasta tai leikkaamalla se halki. Se on yksinkertaisin ei-triviaali solmu. Seifertin pintana tunnetaan pinta, jonka reunakäyränä on solmu. Matthew Wright on kutonut tällaisia pintoja.
Julia Collins näytti vielä vastaavan lelun nimeltä borromean'n renkaat. Siinä on kolme toisiinsa kytkettyä ympyrää (topologisesa mielessä) siten, että kun yhden niistä irroittaa, niin kaikki irtoavat. Katso vaikka Numberphilen video aiheesta laajennettuna olympiarenkaisiin.
Kleinin pullo
Kleinin pullo voidaan periaatteessa tehdä taittamalla paperi kuten vieressä näkyy, mutta siinä on pieniä käytännön ongelmia. Käsityön harrastajia se ei haittaa, sillä Kleinin pullon muotoisia hattuja on tehty paljon. Tästäkin kannattaa tsekata Numberphilen video, jossa miehellä on tuhat Kleinin pulloa kellarissa.
Cross Cap
Täydellisyyden vuoksi Julia Collins näytti vielä projektiivisen tason eli cross capin.