Julia Collins

Knitting Mathematics — saumatonta matematiikkaa

Olisiko matematiikka kehittynyt nopeammin, jos oltaisiin kysytty kutojilta? Mitä tarjottavaa käsitöiden harrastajilla on matematiikkaan? Tässä lyhyt tiivistelmä Dr Julia Collins'n esitelmästä Turun yliopistolla 6.5.2015. Hänen bloginsa Hagg is the Sheep kerää kiinnostusta. Twitteristä hänet löytää @haggismaths-nimellä.

Geometria ja topologia

Geometria on asioiden mittaamista; kulmia, pituuksia, pinta-aloja. Geometria on sitä perinteistä koulukamaa. Mikä on ympyrän olennaisin, eli mikä tekee ympyrästä ympyrän?

Ympyrä on suljettu silmukka. Geometrisesti sillä on säde ja keskipiste. Mikä erottaa sen neliöstä tai vaikka kelttiläisestä solmusta, kuinka paljon ympyrä on erilainen kuin neliö? Siihen vastaa topologia.

Neulojat näkevät topologian; jos neulot, teet topologiaa. Topologisesti ympyrä on suljettu silmukka, nauha ilman loppupistettä. Samaten myös neliö on sellainen. Ne ovat siis samoja asioita. Squarcle on ympyrä ja neliö melkein samaan aikaan.

Ympyrän kehä on yksiulotteinen, kuten Julia Collins demonstroi. Entäpä neliön? Cantor tutki joukkojen mahtavuutta ja huomasi, että selvästi kahden erikokokoisen joukon koot ovatkin samat, eli $$|[0,1]| = |[1, \infty]|\texttt{.}$$ Tähän liittyy mielenkiintoinen Hilbertin hotelli-niminen äärettömyysparadoksi, jossa huoneeseen mahtuu aina uusia vieraita, mutta silti siinä on vähemmän huoneita kuin Georg Cantorin [0,1]-hotellissa.

Samaan aikaan pohdittiin avaruuden (tai tason) täyttävää käyrää, jollaisen italialainen Giuseppe Peano julkaisi ensimmäisenä. David Hilbert julkaisi vuotta myöhemmin uuden variaation avaruuden täyttävästä käyrästä. Avaruuden täyttävä käyrä koskettaa jokaista käyrän pistettä. Kuvassa olevasta käyrästä tulee avaruuden täyttävä, kun iteraatioita jatketaan loputtomiin. Julia Collins totesi, että neulomalla on tehty avaruuden täyttäviä käyriä jo kauan aiemmin, sehän on yksi neulomisen peruslähtökohta: kuinka langasta (1D) saadaan kangasta (2D).

Neulominen ja kaksiulotteiset pinnat

Kaksiulotteisen kankaan voi tehdä varsin helpolla, mutta kun sen yhdistää sopivasti, saadaan aikaiseksi hyvin mielenkiintoisia olioita. Käsityöntekijät osaavat yhdistää ja tehdä ne saumattomasti, jotenkin yli kiertäen.

Torus eli donitsi

Torus saadaan yhdistämällä paperi ensin sylinteriksi (siniset) ja sitten näin syntyneet päät yhdistetään, jolloin jäljelle jää munkkirinkilän muotoinen kappale. Topologisesti se on sama kuin (korvallinen) kahvikuppi, koska molemmissa on yksi reikä.

Neliväriteoria väittää, että neljä eri väriä riittää värittämään minkä tahansa tasomaisen alueen eri alueet eri väreillä siten, että naapureiden värit eivät ole samoja.

Samaten nähdään, että enintään neljä pistettä voidaan yhdistää viivoilla toisiinsa. Yksi jää aina viivojen sisäpuolelle, ja viidettä viivaa ei pysty vetämään ylittämättä jotakin aiempaa viivaa. Kokeile itse.

Entäpä toruksen pinnalla? Visualisointi näyttää vaikealta, mutta mm sarah-marie belcastro on moisia väsännyt Carolyn Yackerin kanssa. Käy ilmi, että toruksen pinnalle sopii seitsemän pistettä, jotka voidaan yhdistää katkeamattomilla viivoilla ja vastaavasti tarvitaan seitsemän väritä värittämään toruksen, kuten Julia Collins kertoi. Tätä kutsutaan K7-teoriaksi graafien puolella.

Möbiuksen nauha

Jos toiset päät jätetään yhdistämättä, mutta toisia vastakkaisia sivuja yhdistettäessä käännetään toista puoli kierrosta, niin saadaan kaikille tuttu Möbiuksen nauha. Se on tuttu ainaikin kaupoista, sillä kassahihna saadaan kulumaan tasaisesti molemmilta puolilta tekemällä siitä Möbiuksen nauhan.

Möbius keksi nauhansa vasta 1800-luvulla, mutta käsityöläiset ovat tehneet vastaavia kaulaliinoja jo kauan. Dr Collins näytti, kuinka kauniisti ja vähän tilaa vievästi kaulaliina taittuu kun sen päitä käännetään 180 astetta ennen yhteen liittämistä. Itse asiassa, kaulaliinaa ei käännetä ja yhdistetä, vaan se kudotaan saumattomasti kieroon kiertämällä itsensä yli.

Möbiuksen nauhan voi leikata keskeltä halki ja saadaan yksi tavallinen nauha kahdella 180 asteen käännöksellä. Jos se leikataan vielä, saadaan kaksi toisiinsa kytkettyä silmukkaa.

Paperin päät voi kiertää useammin kuin yhden puolikierroksen. Kolmasti kiertämällä saadaan ns (3,2)-torussolmu reunaviivasta tai leikkaamalla se halki. Se on yksinkertaisin ei-triviaali solmu. Seifertin pintana tunnetaan pinta, jonka reunakäyränä on solmu. Matthew Wright on kutonut tällaisia pintoja.

Julia Collins näytti vielä vastaavan lelun nimeltä borromean'n renkaat. Siinä on kolme toisiinsa kytkettyä ympyrää (topologisesa mielessä) siten, että kun yhden niistä irroittaa, niin kaikki irtoavat. Katso vaikka Numberphilen video aiheesta laajennettuna olympiarenkaisiin.

Kleinin pullo

Kleinin pullo voidaan periaatteessa tehdä taittamalla paperi kuten vieressä näkyy, mutta siinä on pieniä käytännön ongelmia. Käsityön harrastajia se ei haittaa, sillä Kleinin pullon muotoisia hattuja on tehty paljon. Tästäkin kannattaa tsekata Numberphilen video, jossa miehellä on tuhat Kleinin pulloa kellarissa.

Cross Cap

Täydellisyyden vuoksi Julia Collins näytti vielä projektiivisen tason eli cross capin.

Käyrän kaarevuus

Kaarevuus on erikoinen asia, ja se näkyy vasta lukiomatikassa. Paitsi vaatteissa se on jo vauvasta saakka, kunhan huomaa katsoa.

Kaarevuus liittyy suoraan hymiöihin, positiivinen ylöspäin kaarevalle käyrän osalle. Pinnan kaarevuus on mielenkiintoisempi, koska se voi kaareutua kahteen kohtisuoraan suuntaan samassa pisteessä samaan aikaan. Carl Friedrich Gaussin nimeä kantava Gaussin kaarevuus on ottaa tämän huomioon laskemalla kahden eri kaarevuuden tulon samassa pisteessä.

Toruksesta löytyy kaikkea kolmea kaarevuustyyppiä: positiivista, negatiivista ja nollaa. Kokonaiskaarevuus saadaan, kun lasketaan Gaussin kaarevuudet jokaisessa pisteessä yhteen, ja torukselle se on nolla. Miksikö? Koska se on paperista taiteltu, muotoili Julia Collins.

Kaarevuudella ja käsitöillä on hyvin läheinen suhde: melkein kaikki vaatteet ovat kaarevia, ihminen ainakin on kaareva olio. Positiivinen kaarevuus vaatteisiin saadaan poistamalla silmukoita, ja vastaavasti negatiivinen saadaan lisäämällä silmukoita, kuten jokainen käsitöitä harrastava tietää.

Eukleideen vaikutus matematiikkaan on mahtava, ja vasta Gaussin aikaan uskallettiin ajatella, että on olemassa muunlaisia kuin tasomaisia kappaleita. Käsityön tuntijat oletettavasti ovat tienneet sen kauemminkin.

Jos kaarevuus on positiviinen, kutsutaan sitä pallogeometriaksi. Pallon pinnalle voidaan piirtää kolmio, jossa on kolme 90 asteen kulmaa. Suoraksi määritellään lyhin reitti pisteestä toiseen ja pallon pinnalla lyhin reitti pisteestä toiseen on isoympyrä. Pallon päällä ei siis ole yhdensuuntaisia suoria, koska kaikki isoympyrät leikkaavat toisensa. Lisäksi \(\pi\):n arvo riippuu (nooh) siitä missä päin palloa ollaan, tsekkaa Physics.StackExchangesta lisää tietoa.

Hyperboliseksi kutsutaan objektia, jolla on negatiivinen kaarevuus. Siinä vastaavasti kolmion kulmien summa on alle 180 astetta ja sen pinnalle voi piirtää äärettömän monta eri samansuuntaista viivaa saman pisteen kautta.

Hyperbolinen geometria keksittiin vasta 1800-luvulla pitkien vaiheiden jälkeen. Niistä Dr Julia Collins kertoi mukaansatempaavasti.

Hyperbolinen pinta vaikuttaa oudolta, mutta se on hyvin luonnollinen. Koralliriutat ovat hyperbolisia, kaalinlehdet ja kantarellit myös. Luonnosta löytyy hyvin paljon hyperbolisia objekteja, koska esimerkiksi lehden pinta-alan kasvattaminen tuo tiettyjä etuja. Katso myös Botanica Matematicasta vaikka Fibonacci-puu ja binääribonsai.

Onhan Dr Hinke M Osinga kutonut Lorenzin monistonkin. Ohjeet löytyvät Bristolin yliopiston sivuilta. Julia Collins totesi työmäärän tuossa olleen valtava.

Kuviot ja koodaus

Kudontakuvioiden levittäminen vaatii sopivan koodauksen keksimistä. Koodaus on vanha keksintö, esimerkiksi neulontakuvion $$ PPPKKPPPKKPPKPPKPPPPKKPPPKKPPKPPKP = \\ [(P3K2)\times2 (P2K1)\times2 P1]\times2 $$ koodattua eli lyhyempää versiota on helpompi lukea ja myös kutoa. Ensimmäiset tietokoneet olivat kudontakoneita ja ensimmäiset ohjelmat ovat kudontaan ja kankaiden tekoon liittyviä.

Neulomalla voi tuottaa kuvioita hyvin helpolla. Kahdesta eri värisestä langasta kudottu pätkä muistuttaa yksiulotteista soluautomaattia. Kolmesta päällä olevasta eri värisestä solmusta voidaan annetun säännön perusteella tuottaa alemmalle riville oma kuvio. Vieressä näkyy osa säännöstä numero 30.

Sääntö 30 on sellainen, jota tapaa luonnossakin melko usein. Se tuottaa monimutkaisia, satunnaisen näköisiä kuvioita hyvin yksinkertaisesta säännöstä.

Sääntöjä on paljon erilaisia, esimerkiksi vakiosääntöjä, periodisia oskillaatioita tuottavia, pseudosatunnaisia ja kaoottisia. Sierpinskin kolmio tulee myös XOR-säännöllä, jos logiikka haluaa ottaa mukaan kutomiseen. Niitä voi kokeilla nopeammin taulukkolaskennalla, mutta tosiharrastaja ottaa puikot esille.

Julia Collins oli myös kutonut \(\pi\)-maton, jossa \(\pi\):n desimaalit on koodattu maton poikittaisraitoihin.

Lelut

Esitelmänsä lopuksi Julia Collins näytti meille lisää leluja. Borromean'n renkaat tuli jo, mutta jännempi lelu on hexaflexacushion, missä on piilotettu kolmas ulottuvuus. Octopush on toinen jännä taitteluleikkikalu. Niitä kannattaa kokeilla väsätä.

Kaiken kaikkiaan erinomainen ja sivistävä esitelmä matematiikan mahdollisuuksista. Topologiana tunnettu vaikea matematiikan osa-alue selveni Julia Collinssin esitelmän ansiota enemmän ymmärrettäväksi. Aika kului nopeasti, ja esitelmän lopuksi hänellä oli aikaa jäädä juttelemaan aiheesta samalla kun sai katsella ja ihmetellä Dr Collinssin käsitöitä.